Densidad de Flujo Magnético - Ejercicios Resueltos

No podemos comprender la Densidad de Flujo Magnético, si no comprendemos completamente la Inducción Electromagnética, porque todo parte desde su descubrimiento, hasta estudiar los efectos que ocurren después de los experimentos que realizaron grandes físicos 🤓

➰ La Inducción Electromagnética

En 1820 desde que Oersted, descubrió que una corriente eléctrica genera un campo magnético, la simetría de las relaciones entre el magnetismo y la electricidad llevó a los físicos a creer en la proposición inversa: si la corriente eléctrica en un conductor genera un campo magnético, entonces un campo magnético debe generar una corriente eléctrica. La cuestión era saber cómo se podría hacer, y fue algo que terminó por ser descubierto por Faraday en 1831.

Las figuras siguientes muestran algunos de sus experimentos y confirman su hipótesis. En todos la deflexión del puntero del galvanómetro en uno u otro sentido, que evidencia la existencia de corriente eléctrica en el circuito, está relacionada a un campo magnético variable.

En la figura anterior, cuando el switch o interruptor está conectado, un campo magnético aparece en el anillo donde las bobinas están enrolladas, y el puntero del galvanómetro deflecta en un sentido. Es decir, cuando se apaga, el campo desaparece, y el puntero deflecta en el otro sentido. Sólo en los momentos en que el switch o interruptor está encendido o apagado es que aparece una corriente eléctrica en el galvanómetro. Si el interruptor permanece encendido o apagado, la corriente eléctrica desaparece. Observe la figura de abajo:

En este experimento, sólo aparece corriente eléctrica cuando se acercan o se alejan los imanes de la bobina. Cuando los imanes se apoyan en la bobina, el puntero del galvanómetro deflecta en un sentido. Cuando los imanes desencadenan, el puntero deflecta en el otro sentido. Si se mantienen en posición fija, apoyados o desencadenados, no aparece corriente eléctrica. Observe la figura siguiente. Cuando se acerca el imán de la espira, el puntero del galvanómetro deflecta en un sentido; cuando se aleja, el puntero deflecta en el otro sentido.

La situación anterior muestra aún el factor determinante en la generación de la corriente eléctrica: la variación del número de líneas de campo que atraviesan la espira, o sea, la variación del flujo magnético a través de la espira. Qué será el concepto a estudiar ahora mismo.

⚡ Flujo de Campo Magnético

El flujo de campo magnético está relacionado con el número de líneas de campo magnético que atraviesan determinada superficie de área A. Como se muestra en la siguiente figura. Cuánto mayor sea el número de líneas de campo, mayor será el valor del flujo magnético.

La densidad de flujo magnético (B) es un vector que representa la intensidad, dirección y sentido del campo magnético en algún punto.

⭕ Fórmula del Flujo Magnético

En la figura anterior, N es una recta normal a la superficie y forma un ángulo θ con el vector inducción magnética B. El flujo del vector inducción magnética Φ a través de la superficie plana de área A se define por la expresión:

Dónde:

Φ = Flujo Magnético, su unidad es el weber (Wb)

B = Densidad del flujo magnético, en el SI se mide en (Wb/m²)

A = Área sobre la que actúa el flujo magnético, se expresa en metros cuadrados (m²)

🤔 ¿Qué es un Weber?

El símbolo Wb es una unidad del flujo magnético o de inducción en honor al físico Wilhelm Eduard Weber (1804 - 1891)

Un weber es el flujo de inducción a través de una superficie plana de área igual a un metro cuadrado, dispuesta perpendicularmente a un campo uniforme de inducción magnética de intensidad igual a un tesla (T).

Como Φ = BA cos θ y cos θ = cos 0° = 1 (según la imagen)

Entonces, la intensidad del vector B puede ser medida en weber por metro cuadrado, que equivale a la unida de tesla. Por eso, el vector inducción magnética B también se denomina densidad de flujo magnético, lo que significa "flujo magnético por unidad de área".

⬆ El Vector normal "N"

En realidad, el segmento normal N, es un vector que tiene una orientación determinada por el sentido de recorrido del contorno de una superficie plana A establecido arbitrariamente. En este sentido, la orientación del vector N es obtenida por la regla de la mano derecha, como muestra la figura abajo. Se trata de una construcción matemática que no será adoptada aquí porque huye del alcance del nivel medio superior.

🔸 Ejercicios Resueltos de Densidad de Flujo Magnético

Solución:

Este problema de densidad de flujo magnético, es un tipo de problema muy básico y principal para entender hacer uso correcto de la fórmula, si vemos nuestros datos contamos con un radio por lo que será necesario calcular el área a partir de esta dato, también contamos directamente con el flujo magnético de 5 Teslas.

Datos:

$\displaystyle r=7cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.07m$

$\displaystyle B=5T$

a) Obtener el flujo magnético.

Lo primero qué tenemos que realizar, es calcular el área de la placa circular.

$\displaystyle A=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( 0.07m \right)}^{2}}=0.01539{{m}^{2}}$

Ahora si podemos colocar nuestra fórmula de densidad de flujo magnético

$\displaystyle B=\frac{\phi }{A}$

Despejando al flujo magnético Φ :

$\displaystyle \phi =BA$

Sustituyendo datos en la fórmula:

$\displaystyle \phi =BA=\left( 5\frac{wb}{{{m}^{2}}} \right)\left( 0.01539{{m}^{2}} \right)=0.07695Wb$

Por lo que obtenemos un valor de 0.07695 Wb

b) Convertir Webers a Maxwells

Aplicando el factor de conversión:

$\displaystyle \phi =0.07695Wb\left( \frac{1x{{10}^{8}}\max wells}{1Wb} \right)=7.695x{{10}^{6}}\max wells$

Obtenemos un valor de 7.695x10^(6) Maxwells

Solución: 

A diferencia del primer problema, en este caso tenemos un ángulo que se forma respecto al plano de la espira, también el área de la figura no es circular, se trata de una espira con largo y ancho. Así que usaremos la fórmula de la densidad de flujo magnético para darle solución al problema.

Si analizamos el plano de la espira con las líneas de densidad de flujo magnético, nos daremos cuenta de lo siguiente:

Entre la recta normal y la densidad de flujo magnético, se forma un ángulo de 60° que será θ, y no 30° como se pudo haber creído.

Datos:

$\displaystyle B=2T$

$\displaystyle \theta =60{}^\circ $

Convertimos el largo y ancho a metros:

$\displaystyle a=\left( 30cm \right)\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.3m$

$\displaystyle l=\left( 10cm \right)\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.1m$

El dato del área sería:

$\displaystyle A=\left( 0.3m \right)\left( 0.1m \right)=0.03{{m}^{2}}$

a) Obtener el flujo magnético 

Colocando la fórmula de la densidad de flujo magnético

$\displaystyle B=\frac{\phi }{A\cos \theta }$

Despejando al flujo magnético Φ :

$\displaystyle \phi =BA\cos \theta $

Sustituyendo datos en la fórmula:

$\displaystyle \phi =\left( 2\frac{Wb}{{{m}^{2}}} \right)\left( 0.03{{m}^{2}} \right)\cos 60{}^\circ =0.03Wb$

Por lo que obtenemos un valor de 0.03 Wb