Derivadas Algebraicas - Ejercicios Resueltos

Las derivadas surgieron por la incansable inquietud que tuvieron los griegos en el siglo III A.C, y posteriormente para los físicos al querer encontrar la velocidad instantánea en un determinado punto que los llevo a encontrarse con el mismo problema que se tenía en la antigüedad al querer mover una recta con un punto (P1) sobre una curva a otro punto (P2) (secante) y que aproximándose a cero del punto inicial se convertiría en una tangente. 😎

Algo similar a la gráfica que se explicó en el post de Límites por regla de los 4 pasos

Tipos de Derivadas

Afortunadamente para las derivadas algebraicas, trigonométricas, inversas, logarítmicas, y exponenciales ya existen reglas de derivación lo que simplifica para muchos el procedimiento tedioso para llegar a ellas, ahora en este artículo nos enfocaremos a las derivadas algebraicas. no sin antes mencionar, que después de las derivadas algebraicas, puedes repasar las demás derivadas 😎 🔥

• Derivadas Trigonométricas Resueltas
• Derivadas Exponenciales Resueltas
• Derivadas Logarítmicas Resueltas
• Derivadas Trigonométricas Inversas Resueltas
• Derivadas de Orden Superior
• Derivadas Implícitas

Introducción a las derivadas algebraicas

Vamos a explicar que es cada una (ver la imagen de abajo).

1. Es la derivada de una constante.
2. Es la derivada de una variable (cuando se deriva respecto a ella misma).
3. Es la derivada de una constante por una variable.
4. Es la derivada de una suma o resta (se pueden hacer individualmente)
5. Es la derivada de la variable elevada a una potencia.
6. Es la derivada de una función elevada a una potencia
7. Es la derivada de un producto (multiplicación).
8. Es la derivada de un cociente (división).

El buen uso de las reglas de derivación consiste en dominar el álgebra, así que una de las cosas que le sugerimos al lector, es repasar los tópicos de potencia, radicales, factorización, productos notables y operaciones con fracciones algebraicas, para hacer el procedimiento más efectivo y conciso.

Supongamos que tenemos el siguiente ejemplo.

Ejemplos Resueltos de Derivadas Algebraicas

$\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2{{x}^{-3}}+2$

Solución:

Como se trata de una derivada con muchos términos de suma y resta, es posible hacer la derivada individual de cada término para que al final se junte y se entregue la respuesta completa de la derivada.

Para el primer término tenemos , podemos aplicar el caso 5 de nuestra tabla de reglas, quedando así:

$\displaystyle y'=4{{x}^{4-1}}=4{{x}^{3}}$

Después tenemos 

Aplicando la propiedad de la regla 3 combinada con la 5, tenemos.

$\displaystyle y'=3(2{{x}^{2-1}})=3(2x)=6x$

Por ahora nos queda realizar la siguiente derivada 

Que al derivar obtenemos:

$\displaystyle -3(2{{x}^{-4}})=-6{{x}^{-4}}=\frac{-6}{{{x}^{4}}}$

Finalmente nos queda el valor de 2, que al derivar tendríamos un cero, puesto que se trata de una constante.

Ahora ordenando los términos derivados.

Resultado:

$\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x-\frac{6}{{{x}^{4}}}$

Lo que vendría a ser nuestra derivada.

$\displaystyle y=\frac{3x-4}{2{{x}^{2}}+5}$

Solución:

Tenemos la derivada de un cociente, por lo tanto recordemos que para un cociente tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{vu'-uv'}{{{v}^{2}}}$

Al seguir los pasos tenemos:

$\displaystyle y'=\frac{(2{{x}^{2}}+5)\cdot \frac{d}{dx}(3x-4)-(3x-4)\frac{d}{dx}(2{{x}^{2}}+5)}{{{(2{{x}^{2}}+5)}^{2}}}$

Ahora proseguimos a derivar donde está indicada la operación:

$\displaystyle y'=\frac{(2{{x}^{2}}+5)\cdot (3)-(3x-4)(4x)}{{{(2{{x}^{2}}+5)}^{2}}}$

Seguimos simplificando

$\displaystyle {y}'=\frac{6{{x}^{2}}+15-12{{x}^{2}}+16x}{{{(2{{x}^{2}}+5)}^{2}}}$

Con eso tendríamos nuestra derivada resuelta.

Resultado:

$\displaystyle {y}'=\frac{-6{{x}^{2}}+16x+15}{{{(2{{x}^{2}}+5)}^{2}}}$

$\displaystyle y=(4{{x}^{4}}-3x)(-2x+1)$

Solución

Como en el caso anterior, tenemos la derivada de un producto, y ésta se resuelve aplicando lo siguiente:

$\displaystyle uv=uv'+vu\acute{\ }$

Por lo que al resolver el ejercicio anterior tenemos:

$\displaystyle y'=(4{{x}^{4}}-3x)\cdot \frac{d}{dx}(-2x+1)+(-2x+1)\cdot \frac{d}{dx}(4{{x}^{4}}-3x)$

Aplicando la derivada donde está aplicada, tenemos lo siguiente:

$\displaystyle y'=(4{{x}^{4}}-3x)(-2)+(-2x+1)(16{{x}^{3}}-3)$

Posteriormente tendríamos:

$\displaystyle y'=(-8{{x}^{4}}+6x)+(-32{{x}^{4}}+16{{x}^{3}}+6x-3)$

Que simplificando este se convierte en:

$\displaystyle y'=-8{{x}^{4}}+6x-32{{x}^{4}}+16{{x}^{3}}+6x-3$

Y finalmente tendríamos lo siguiente:

Resultado:

$\displaystyle y'=-40{{x}^{4}}+16{{x}^{3}}+12x-3$

$\displaystyle y={{(-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+2x-1)}^{3}}$

Solución:

En este caso tenemos la derivada de una potencia, y por fórmula sabemos que se aplica lo siguiente:

$\displaystyle {{u}^{n}}=n{{u}^{n-1}}u'$

Siguiendo la fórmula, podemos aplicarla para nuestra derivada y esto quedaría de la siguiente manera:

$\displaystyle y'=3{{(-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+2x-1)}^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+2x-1)$

Proseguimos a derivar lo que queda en el término final

$\displaystyle y'=3{{(-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+2x-1)}^{2}}(-\frac{6}{4}x+2)$

Finalmente esto lo podemos dejar expresado como un producto, de la siguiente manera:

Resultado:

$\displaystyle y'=(-\frac{18}{4}+6){{(-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+2x-1)}^{2}}$

Por lo que esto finalmente sería la derivada de la función.

$\displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Solución:

Observe que en este ejemplo se trata de una función que tiene una raíz cuadrada, lo que haremos será pasarla a una potencia, esto es por las reglas del álgebra.

$\displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}-{{b}^{2}}}={{\left( {{x}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}$

Por lo que tendremos que derivar tal como lo hicimos en el ejemplo anterior, de tal forma que:

$\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dx}\left( {{x}^{2}}-{{b}^{2}} \right)$

Ahora procedemos a derivar, pero recuerde que la derivada es respecto a "x", así que la variable "b" es una constante.

$\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2x \right)$

Ordenando:

$\displaystyle y'=\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}-{{b}^{2}}}}$

Simplificando obtendremos el resultado:

Resultado:

$\displaystyle y'=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{b}^{2}}}}$

Ejercicios para practicar de Derivadas

1. $\displaystyle f(x)=9{{x}^{2}}-2x+5$
2. $\displaystyle f(x)=5{{x}^{{\frac{1}{4}}}}-7{{x}^{{1.4}}}$
3. $\displaystyle f(x)=3\sqrt{x}+\sqrt[5]{x}$
4. $\displaystyle f(x)=\frac{6}{{x{{}^{4}}}}$
5. $\displaystyle f(x)=\frac{{{{x}^{5}}+3{{x}^{2}}\sqrt{x}}}{x}$
6. $\displaystyle h(x)=3\sqrt{x}+\frac{2}{{\sqrt{{3x}}}}+3x$
7. $\displaystyle y={{x}^{2}}\left( {3+x+{{x}^{{-1}}}} \right)$
8. $\displaystyle y=\frac{{4-x}}{{\sqrt{x}}}$
9. $\displaystyle y={{\left( {3x-\sqrt{x}} \right)}^{3}}$
10. $\displaystyle y=\frac{{4{{x}^{3}}-2x}}{{2x-1}}$