Distancia de un punto a una recta - Ejercicios Resueltos

La distancia de un punto a una recta es un tema de gran importancia en geometría analítica, pues se puede hacer uso de este tema en temas de cálculo diferencial e integral, y física. Para ello vamos analizar su fórmula:

La fórmula está definida para una gráfica similar a la de la imagen:

Como podemos observar, lo que se calcula es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado a partir del punto.

Veamos algunos ejemplos para entender mucho mejor este tema:

Ejemplos resueltos de la distancia de un punto a una Recta

Solución:

Para encontrar la distancia del punto A a la recta, solamente debemos sustituir nuestros datos en la fórmula, de la siguiente forma:

$\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$

Sustituyendo las coordenadas del punto A y los coeficientes de la ecuación en la fórmula, vamos a obtener:

$\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 6(3)-2(1)+11 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}$

Multiplicando el numerador, obtenemos:

$\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}$

Ahora realizamos las operaciones en el denominador:

$\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{40}}$

El valor absoluto de 27 es 27, entonces:

$\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{27}{\sqrt{40}}$

Por lo que el resultado, es:

Resultado:

$\displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{40}}=4.269u$

Un aproximado a 4.269 unidades, de forma gráfica lo vemos así:

Veamos otro ejemplo.

Solución:

Para obtener la distancia, debemos de aplicar nuestra fórmula y sustituir nuestros datos, de tal forma que:

$\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$

Sustituyendo datos en la fórmula:

$\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 5(2)+4(3)+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}$

Realizando las operaciones en el numerador, tenemos que:

$\displaystyle d=\frac{\left| 10+12+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}$

Ahora realizamos las operaciones indicadas en el denominador:

$\displaystyle d=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{25+16}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{41}}$

El valor absoluto de 37 es 37.

$\displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}$

Por lo que el resultado es:

Resultado:

$\displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}=5.778u$

Que de forma gráfica, esto es:

Veamos otro ejemplo más 😀

Solución:

Nuevamente, para poder solucionar este problema que es similar a los dos anteriores. Veamos nuestra fórmula a utilizar:

$\displaystyle d=\frac{{\left| {A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C} \right|}}{{\sqrt{{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}}}$

Vamos a sustituir nuestros datos en la fórmula:

$\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 2(1)+5(3)+10 \right|}{\sqrt{{{(2)}^{2}}+{{(5)}^{2}}}}$

Vamos a realizar las operaciones en la parte del numerador y algunas del denominador:

$\displaystyle d=\frac{\left| 2+15+10 \right|}{\sqrt{4+25}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{4+25}}$

Simplificamos aún más . . .

$\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{29}}$

El valor absoluto de 27 es 27, por lo que:

Resultado:

$\displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{29}}=5.013u$

Qué sería la distancia del punto (1,3) a la recta dada. De forma gráfica esto se aprecia de la siguiente forma: