Resistividad - Ejercicios Resueltos

Después de más de un mes sin publicar contenido en el blog, volvemos a colocarnos las pilas y bien recargadas para traer más ejemplos resueltos de ejercicios, y es ahora como vamos a iniciar hablando de un tema que sin duda es de vital importancia para quienes estudian las leyes eléctricas. 😀

Hoy tocaremos el tema de la resistividad, este tema se basa en el comportamiento de la resistencia de un material, ya que el flujo de carga que pasa a través de éste siempre se topará con una fuerza opuesta a que esta fluya de tal manera que la podemos relacionar como una fricción mecánica, a esta oposición la conocemos como resistencia. Sin embargo cada material tiene su propia resistencia.  😎

En la ley del ohm no nos importaba saber de donde obteníamos los valores para las resistencias, y en este tema SI!!

Hay cuatro factores que tomaremos en cuenta para darle valores, que son:

1. Tipo de Material
2. Longitud
3. Área Transversal
4. Temperatura

La ecuación que usaremos para poder encontrar esos valores de resistencia con esas variables, será:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

Dónde:

$\displaystyle R$ = Resistividad ($\displaystyle \Omega $)

$\displaystyle \rho $ = Coeficiente de Resistividad ($\displaystyle \Omega m$)

$\displaystyle l$ = Longitud (m)

$\displaystyle A$ = Área ($\displaystyle {{m}^{2}}$)

Existen tablas de resistividad eléctrica de algunos materiales que han sido tomados a una temperatura ambiente entre (20 C° - 25° C) celcius.

Ejercicios resueltos de Resistividad

Ahora pasemos a resolver unos ejemplos resueltos del tema de resistividad, para poder comprender a fondo podemos enfrentarnos a problemas como éstos.

Solución: Para poder resolver el ejercicio, vamos a reunir nuestros datos sabiendo que nos piden la resistencia de un alambre de plata, por lo que:

$\displaystyle \rho =1.59x{{10}^{-8}}\Omega m$ (resistividad).

$\displaystyle l=2400cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=24m$

$\displaystyle d=25cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.25m$ (diámetro)

$\displaystyle A=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( 0.125m \right)}^{2}}=0.04908{{m}^{2}}$

Reemplazando estos valores en nuestra fórmula:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

$\displaystyle R=1.59x{{10}^{-8}}\Omega m\left( \frac{24m}{0.04908{{m}^{2}}} \right)=7.775x{{10}^{-6}}\Omega $

Solución: Este es un problema un poco más complicado que el anterior, debido a que en este caso tenemos que despejar una variable de nuestra fórmula:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

De aquí despejaremos al Área (A).

$\displaystyle A=\rho \frac{l}{R}$

Tenemos los datos de la longitud del conductor, la resistividad y el valor de la resistencia, por lo que lo único que nos queda es reemplazar esos datos en la fórmula.

$\displaystyle A=(2.63x{{10}^{-8}}\Omega m)\frac{30m}{20\Omega }$

$\displaystyle A=3.945x{{10}^{-8}}{{m}^{2}}$

Qué sería el área del conductor. 😀

Recordemos que el diámetro lo podemos calcular, por la fórmula del área:

$\displaystyle A=\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}$

despejando a "d", nos queda:

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}$

sustituyendo en nuestros datos:

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}=\sqrt{\frac{4(3.945x{{10}^{-8}})}{\pi }}=2.24x{{10}^{-4}}m$

Por lo que nuestro diámetro es de:

$\displaystyle d=2.24x{{10}^{-4}}m$

Ahora vamos a resolver un ejercicio que nos envío un suscriptor del blog.

Solución: Este es un problema que implica un análisis más profundo que los dos ejemplos anteriores, primero porque se involucran dos materiales, y la otra, porque realmente aplicamos algunos conceptos matemáticos para hacernos más fácil la solución.

Ambos materiales tienen la misma longitud, por lo cual no hace falta representarla en nuestra fórmula, es decir;

$\displaystyle {{R}_{Al}}={{R}_{Cu}}$ (Porque ambas tienen la misma resistencia)

$\displaystyle {{\rho }_{Al}}\frac{l}{A}={{\rho }_{Cu}}\frac{l}{A}$ (Igualamos ecuaciones)

$\displaystyle \frac{{{\rho }_{Al}}}{A}=\frac{{{\rho }_{Cu}}}{A}$ (Quitamos la longitud ya que son la misma)

Cálculo para el Aluminio

$\displaystyle {{\rho }_{Al}}=2.82x{{10}^{-8}}\Omega m$

$\displaystyle \varnothing =3.26x{{10}^{-3}}m$ (diámetro)

Vamos a calcular el área de este conductor, sabiendo su diámetro podemos hacerlo de la siguiente forma.

$\displaystyle A=\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}=\frac{\pi {{\left( 3.26x{{10}^{-3}}m \right)}^{2}}}{4}=8.3469x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Ahora realizaremos lo mismo con el cobre.

Cálculo para el Cobre

$\displaystyle {{\rho }_{Cu}}=1.71x{{10}^{-8}}\Omega m$

En el caso del cobre, no tenemos el área porque justamente el problema nos pide el diámetro, entonces tendremos que despejar nuestra fórmula al área, para trabajarlo desde ahí.

$\displaystyle {{A}_{Cu}}=\frac{{{\rho }_{Cu}}\cdot {{A}_{Al}}}{{{\rho }_{Al}}}$

Reemplazando nuestros datos en la fórmula, tenemos:

$\displaystyle {{A}_{Cu}}=\frac{{{\rho }_{Cu}}\cdot {{A}_{Al}}}{{{\rho }_{Al}}}=\frac{(1.71x{{10}^{-8}}\Omega m)(8.3469x{{10}^{-6}}{{m}^{2}})}{2.82x{{10}^{-8}}\Omega m}=5.06x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Ya obtuvimos nuestra área, sin embargo recordemos nuevamente que el problema nos pide el diámetro, entonces sabiendo que de la fórmula de la circunferencia podemos obtener el diámetro, esto nos queda.

$\displaystyle A=\,\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}$

$\displaystyle \sqrt{\frac{4A}{\pi }}=\,d$

Ordenando ...

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}$

Sustituyendo valores.

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4(5.06x{{10}^{-6}}{{m}^{2}})}{\pi }}=2.53x{{10}^{-3}}m=2.53mm$

Por lo que el diámetro de la sección del conductor es de $\displaystyle 2.53x{{10}^{-3}}m$

Por lo que con esto se concluye el ejercicio 😎

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