Integrales con expresiones cuadráticas y radicales

Es muy difícil poder asignar un nombre corto a este tipo de integrales que tienen raíz cuadrada en el numerador, denominador e incluso solo cuadráticas sin raíces, sin embargo es importante que podamos aprenderlas a diferenciar y resolver realizando dieveros ejercicios, métodos y formas de solución sin llegar a equivocarnos.

En este artículo tratareamos de involucrar las posibles combinaciones de u² y a² , ya sea sumadas, restadas, con raíz cuadrada o sin ella, en el numerador o en el denominador, pero de que aprenderás a resolver estas integrales, realmente lo harás. Es por eso que hemos llamado a este post: integrales con expresiones cuadráticas y radicales, pero si deseas aprender a resolver integrales que se completan con cuadrados, tal vez necesites ir a este artículo. Integrales por completación de cuadrados

Integrales de la forma (± u² ± a²)ˆ(k/2) du, con k =±1, -2

$\displaystyle \int{{{{{\left( {\pm {{u}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right)}}^{{\frac{k}{2}}}}du}}$ con $\displaystyle k=\pm 1,-2$

Tal como dice el subtítulo de nuestro artículo, este tipo de integrales lo vamos a encontrar de tres formas:

1. Sumada o restadas: Según se considere el signo positivo o negativo del ± que aparece en la forma delante de u y a
2. Con o sin raíz cuadrada: Si k = ±1 , ya que el exponente toma el valor de 1/2 o de -1/2, o sin raíz cuadrada si k = -2.
3. En el numerador o denominador: Si k es positivo, por ende el exponente es positivo y la expresión está en el numerado, si k es negativo el exponente es negativo y la expresión está en el denominador.

Fórmula a aplicar para estas integrales

Si tenemos raíz cuadrada en el numerador:

$\displaystyle \int{{\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}du=\frac{u}{2}}}\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}+\frac{{{{a}^{2}}}}{2}\ln \left( {u+\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}} \right)+C$

$\displaystyle \int{{\sqrt{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}du=\frac{u}{2}}}\sqrt{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}-\frac{{{{a}^{2}}}}{2}\ln \left( {u+\sqrt{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}} \right)+C$

$\displaystyle \int{{\sqrt{{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}du=\frac{u}{2}}}\sqrt{{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}+\frac{{{{a}^{2}}}}{2}arcsen(\frac{u}{a})+C$

Sin raíz cuadrada en el denominador:

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+C}}$

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{1}{{2a}}\ln \left( {\frac{{u-a}}{{u+a}}} \right)}}+C$

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}=\frac{1}{{2a}}\ln \left( {\frac{{a+u}}{{a-u}}} \right)}}+C$

Con raíz cuadrada en el denominador:

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}}}=\ln \left( {u+\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}} \right)+C}}$

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{\sqrt{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}}}=\ln \left( {u+\sqrt{{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}} \right)+C}}$

$\displaystyle \int{{\frac{{du}}{{\sqrt{{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}}}=arcsen\frac{u}{a}+C}}$

Ejercicios Resueltos de Integrales con Expresiones Cuadráticas y Radicales

Solución:

Verificamos que se trata de una integral con raíz cuadrada y expresiones cuadráticas, entonces realizamos:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {{{u}^{2}}=9{{x}^{2}}} & {{{a}^{2}}=25} \\ {u=3x} & {a=5} \end{array}$

Entonces:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {du=3dx} & {dx=\frac{{du}}{3}} \end{array}$

No olvides que es importante que al aplicar cualquier fórmula, debe hacerse el cambio de variable. En este caso, se aplicará una de las fórmulas vistas anteriormente, porlo tanto tiene que multiplicarse y dividirse la integral original por 3, Esta integral tendrá la forma:

$\displaystyle =\frac{1}{3}\left[ {\frac{u}{2}\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}+\frac{{{{a}^{2}}}}{2}\ln \left( {u+\sqrt{{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}} \right)} \right]+C$

Sustituyendo los valores de u y a para este ejemplo:

$\displaystyle \frac{1}{3}\left[ {\frac{{3x}}{2}\sqrt{{9{{x}^{2}}+25}}+\frac{{25}}{2}\ln \left( {3x+\sqrt{{9{{x}^{2}}+25}}} \right)} \right]+C$

Por lo tanto:

$\displaystyle \int{{\sqrt{{9{{x}^{2}}+25}}dx}}=\frac{x}{2}\sqrt{{9{{x}^{2}}+25}}+\frac{{25}}{6}\ln \left( {3x+\sqrt{{9{{x}^{2}}+25}}} \right)+C$

Solución:

Observamos que la integral tiene la forma de una fracción con un denominador cuadrático. Podemos reescribir el denominador de la siguiente manera:

$$\displaystyle 36 - 49x^2 = 6^2 - (7x)^2$$

Reconocemos que esto tiene la forma de una diferencia de cuadrados:

$$\displaystyle a^2 - u^2$$

Donde:

$$\displaystyle a^2 = 36, \quad u^2 = 49x^2$$

Por lo tanto:

$$\displaystyle a = 6, \quad u = 7x$$

Derivamos \( u \):

$$\displaystyle du = 7dx \Rightarrow dx = \frac{du}{7}$$

Sustituyendo en la integral:

$$\displaystyle \int \frac{dx}{36 - 49x^2} = \int \frac{\frac{du}{7}}{6^2 - u^2}$$

Factorizando el coeficiente:

$$\displaystyle \frac{1}{7} \int \frac{du}{6^2 - u^2}$$

Usamos la fórmula estándar:

$$\displaystyle \int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+u}{a-u} \right| + C$$

Sustituyendo \( a = 6 \) y \( u = 7x \):

$$\displaystyle \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2(6)} \ln \left| \frac{6 + 7x}{6 - 7x} \right| + C$$

Simplificando:

$$\displaystyle \frac{1}{84} \ln \left| \frac{6 + 7x}{6 - 7x} \right| + C$$

Por lo tanto, el resultado final es:

$$\displaystyle \int \frac{dx}{36 - 49x^2} = \frac{1}{84} \ln \left| \frac{6 + 7x}{6 - 7x} \right| + C$$

Solución:

Observamos que la integral tiene una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados. Podemos escribir el argumento de la raíz como:

$$\displaystyle 81x^2 - 4 = (9x)^2 - 2^2$$

Reconocemos la forma estándar:

$$\displaystyle u^2 - a^2$$

Donde:

$$\displaystyle u = 9x, \quad a = 2$$

Derivamos \( u \):

$$\displaystyle du = 9dx \Rightarrow dx = \frac{du}{9}$$

Sustituyendo en la integral:

$$\displaystyle \int \frac{5dx}{\sqrt{(9x)^2 - 2^2}} = \int \frac{5 \cdot \frac{du}{9}}{\sqrt{u^2 - 2^2}}$$

Factorizamos el coeficiente:

$$\displaystyle \frac{5}{9} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 2^2}}$$

Usamos la fórmula estándar:

$$\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - a^2} \right| + C$$

Sustituyendo \( u = 9x \) y \( a = 2 \):

$$\displaystyle \frac{5}{9} \ln \left| 9x + \sqrt{81x^2 - 4} \right| + C$$

Por lo tanto, el resultado final es:

$$\displaystyle \int \frac{5dx}{\sqrt{81x^2 - 4}} = \frac{5}{9} \ln \left| 9x + \sqrt{81x^2 - 4} \right| + C$$

Solución:

Observamos que la integral tiene una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados. Podemos escribir el argumento de la raíz como:

$$\displaystyle 100 - 9x^2 = 10^2 - (3x)^2$$

Reconocemos la forma estándar:

$$\displaystyle a^2 - u^2$$

Donde:

$$\displaystyle a = 10, \quad u = 3x$$

Derivamos \( u \):

$$\displaystyle du = 3dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3}$$

Utilizamos la fórmula:

$$\displaystyle \int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left( \frac{u}{a} \right) + C$$

Sustituyendo los valores de \( a \) y \( u \):

$$\displaystyle \int \sqrt{100 - 9x^2} \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{3x}{2} \sqrt{100 - 9x^2} + \frac{100}{2} \arcsin \left( \frac{3x}{10} \right) \right] + C$$

Simplificando:

$$\displaystyle \frac{x}{2} \sqrt{100 - 9x^2} + \frac{50}{3} \arcsin \left( \frac{3x}{10} \right) + C$$

Por lo tanto, el resultado final es:

$$\displaystyle \int \sqrt{100 - 9x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{100 - 9x^2} + \frac{50}{3} \arcsin \left( \frac{3x}{10} \right) + C$$

Solución:

Observamos que la integral tiene una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados. Podemos escribir el argumento de la raíz como:

$$\displaystyle 25 - 169x^2 = 5^2 - (13x)^2$$

Reconocemos la forma estándar:

$$\displaystyle a^2 - u^2$$

Donde:

$$\displaystyle a = 5, \quad u = 13x$$

Derivamos \( u \):

$$\displaystyle du = 13dx \Rightarrow dx = \frac{du}{13}$$

Sustituyendo en la integral:

$$\displaystyle \int \frac{2dx}{\sqrt{25 - 169x^2}} = \int \frac{2}{\sqrt{a^2 - u^2}} \cdot \frac{du}{13}$$

Reescribimos:

$$\displaystyle \frac{2}{13} \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}}$$

Utilizamos la fórmula:

$$\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin \left( \frac{u}{a} \right)$$

Sustituyendo los valores de \( a \) y \( u \):

$$\displaystyle \frac{2}{13} \arcsin \left( \frac{13x}{5} \right) + C$$

Por lo tanto, el resultado final es:

$$\displaystyle \int \frac{2dx}{\sqrt{25 - 169x^2}} = \frac{2}{13} \arcsin \left( \frac{13x}{5} \right) + C$$