Integrales por Completación de Cuadrados

Este tipo de integrales utilizan varias fórmulas que ya analizamos en el tema de integrales con términos cuadráticos, sin embargo en este método es muy similar, la única diferencia que como bien dice el título del post, deben completarse cuadrados dicho método algebraíco es muy útil para poder resolver estas integrales.

Vamos a comprender que un trinomio de la forma ax² + bx + c se tendrá que convertir a la forma (mx + n)² + h, que al final se resuelven con las mismas fórmulas que el tema anterior. Es importante mencionar que hasta este punto el estudiante debe estar familiarizado con el método, sino tendrá problemas para poder convertir las integrales y resolverlas. En fisimat proporcionamos cada ejemplo resuelto con sus videos explicados paso a paso.

¿Cómo se completan cuadrados?

Vamos a resolver primero la cuestión algebraica, ¿cómo completo cuadrados?, y la solución es muy sencilla, si tenemos un polinomio cuadrático con la forma ax² + bx + c , entonces decimos que:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {a({{u}^{2}}+k),} & {u=x+\frac{b}{{2a}},} & {k=\frac{{4ac-{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}} \end{array}$

Veamos un ejemplo sencillo:

Solución:

Si aplicamos la fórmula, obtenemos:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {u=x+\frac{{-5}}{{2(1)}}} & {k=\frac{{4(1)(7)-{{{(-5)}}^{2}}}}{{4{{{(1)}}^{2}}}}} \end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {u=x-\frac{5}{2}} & {k=7-\frac{{25}}{4}} \end{array}$

Dónde:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {u=x-\frac{5}{2}} & {k=\frac{3}{4}} \end{array}$

Es decir:

$\displaystyle {{x}^{2}}-5x+7={{\left( {x-\frac{5}{2}} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Cómo podrás darte cuenta, no hay necesidad de tanta álgebra para poder expresar ax² + bx + c en la forma a(u²+ k)

Otra Solución:

$$ x^2 - 5x + 7 $$

Queremos expresar la ecuación en la forma:

$$ (x + n)^2 + h $$

Paso 1: Identificar los coeficientes

En la ecuación \( x^2 - 5x + 7 \), los coeficientes son:

\( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 7 \).

Paso 2: Completar el cuadrado

Tomamos el coeficiente de \( x \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

$$ \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \left( \frac{-5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} $$

Sumamos y restamos \( \frac{25}{4} \):

$$ x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 7 $$

Los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto:

$$ (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 7 $$

Paso 3: Simplificar el término independiente

$$ -\frac{25}{4} + 7 = -\frac{25}{4} + \frac{28}{4} = \frac{3}{4} $$

Por lo tanto, la expresión final es:

$$ (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} $$

Conclusión

Así, \( x^2 - 5x + 7 \) escrito en la forma completando el cuadrado es:

$$ (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} $$

Integrales Resueltas por completación de cuadrados

Ahora es momento de prácticar con integrales resueltas, veamos como realizarla.

Solución:

Completando el Cuadrado en el Denominador

El denominador es un trinomio cuadrático \( x^2 + 10x + 26 \). Para facilitar la integración, completamos el cuadrado.

Agrupamos los términos cuadráticos y lineales:

\[
(x^2 + 10x) + 26
\]

Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( 10 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{10}{2} \right)^2 = 5^2 = 25
\]

Sumamos y restamos 25 dentro del paréntesis:

\[
(x^2 + 10x + 25 - 25) + 26
\]

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman un trinomio cuadrado perfecto:

\[
(x + 5)^2 - 25 + 26
\]

Simplificamos:

\[
(x + 5)^2 + 1
\]

Reemplazamos en la integral:

\[
I = \int \frac{dx}{(x+5)^2 + 1}
\]

Cambio de Variable

Hacemos el cambio de variable:

\[
u = x + 5 \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Reescribimos la integral en términos de \( u \):

\[
I = \int \frac{du}{u^2 + 1}
\]

Aplicando la Fórmula de la Función Arco Tangente

Recordemos la integral estándar:

\[
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C
\]

En nuestro caso:

\( a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \).

Se tiene exactamente la forma de la integral de la tangente inversa.

Aplicamos la fórmula:

\[
I = \tan^{-1} (u) + C
\]

Sustitución Final

Recordemos que \( u = x + 5 \), por lo que:

\[
I = \tan^{-1} (x+5) + C
\]

\[
\boxed{ \int \frac{dx}{x^2 + 10x + 26} = \tan^{-1} (x+5) + C }
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Completando el Cuadrado en el Denominador

El denominador es un trinomio cuadrático \( x^2 - 5x + 7 \). Para facilitar la integración, completamos el cuadrado.

Agrupamos los términos cuadráticos y lineales:

\[
(x^2 - 5x) + 7
\]

Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( -5 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{-5}{2} \right)^2 = \left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}
\]

Sumamos y restamos \( \frac{25}{4} \) dentro del paréntesis:

\[
(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 7
\]

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman un trinomio cuadrado perfecto:

\[
\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} + 7
\]

Simplificamos:

\[
\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4}
\]

\[
\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Reemplazamos en la integral:

\[
I = \int \frac{dx}{\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}}
\]

Cambio de Variable

Hacemos el cambio de variable:

\[
u = x - \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Reescribimos la integral en términos de \( u \):

\[
I = \int \frac{du}{u^2 + \frac{3}{4}}
\]

Aplicando la Fórmula de la Función Arco Tangente

Recordemos la integral estándar:

\[
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C
\]

En nuestro caso:

\( a^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Aplicamos la fórmula:

\[
I = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C
\]

Simplificamos el coeficiente:

\[
\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}
\]

Entonces:

\[
I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C
\]

Sustitución Final

Recordemos que \( u = x - \frac{5}{2} \), por lo que:

\[
I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{x - \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C
\]

Simplificamos el argumento de la tangente inversa:

\[
\frac{x - \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x - \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \left( x - \frac{5}{2} \right)}{\sqrt{3}}
\]

Por lo tanto:

\[
I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2 \left( x - \frac{5}{2} \right)}{\sqrt{3}} \right) + C
\]

Resultado Final

\[
\boxed{\int \frac{dx}{x^2 - 5x + 7} = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2x - 5}{\sqrt{3}} \right) + C}
\]

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Solución:

Completando el Cuadrado en el Denominador

El denominador es un trinomio cuadrático \( x^2 - x + 2 \). Para facilitar la integración, completamos el cuadrado.

Agrupamos los términos cuadráticos y lineales:

\[
(x^2 - x) + 2
\]

Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( -1 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{-1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Sumamos y restamos \( \frac{1}{4} \) dentro del paréntesis:

\[
(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2
\]

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman un trinomio cuadrado perfecto:

\[
(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 2
\]

Simplificamos la constante:

\[
(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}
\]

Reemplazamos en la integral:

\[
I = \int \frac{dx}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}}
\]

Hacemos el cambio de variable:

\[
u = x - \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Reescribimos la integral en términos de \( u \):

\[
I = \int \frac{du}{u^2 + \frac{7}{4}}
\]

Factorizamos \( \frac{7}{4} \):

\[
I = \int \frac{du}{u^2 + \left( \frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2}
\]

Aplicando la Fórmula de la Función Arco Tangente

Recordemos la integral estándar:

\[
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C
\]

En nuestro caso:

\( a^2 = \frac{7}{4} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{7}}{2} \).

Se tiene exactamente la forma de la integral de la tangente inversa.

Aplicamos la fórmula:

\[
I = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \right) + C
\]

Simplificamos el coeficiente:

\[
I = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{2u}{\sqrt{7}} \right) + C
\]

Sustitución Final

Recordemos que \( u = x - \frac{1}{2} \), por lo que:

\[
I = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{2(x - \frac{1}{2})}{\sqrt{7}} \right) + C
\]

Resultado Final

\[
\boxed{\int \frac{dx}{x^2 - x + 2} = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{7}} \right) + C}
\]

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Solución:

Completando el Cuadrado en el Denominador

El denominador es un trinomio cuadrático \( 5 - 4x - x^2 \). Para facilitar la integración, completamos el cuadrado.

Primero ordenamos el polinomio:

\[
\int \frac{dx}{-x^2 - 4x + 5}
\]

Factorizamos el signo negativo:

\[
\int \frac{-dx}{x^2 + 4x - 5}
\]

Ahora completamos el cuadrado. Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( 4 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{4}{2} \right)^2 = 2^2 = 4
\]

Sumamos y restamos 4 dentro del paréntesis:

\[
\int \frac{-dx}{(x^2 + 4x + 4 - 4 - 5)}
\]

Agrupamos los primeros tres términos, que forman un trinomio cuadrado perfecto:

\[
\int \frac{-dx}{(x + 2)^2 - 9}
\]

Reescribimos la expresión como diferencia de cuadrados:

\[
\int \frac{-dx}{(x + 2)^2 - 3^2}
\]

Aplicamos la forma estándar de integración de la función hiperbólica:

\[
\int \frac{-dx}{(x+2)^2 - 3^2}
\]

Hacemos el cambio de variable:

\[
u = x + 2 \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Reescribimos la integral en términos de \( u \):

\[
\int \frac{-du}{u^2 - 3^2}
\]

Aplicamos la fórmula estándar de integrales con diferencia de cuadrados:

\[
\int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u - a}{u + a} \right| + C
\]

En nuestro caso:

\( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \).

Aplicamos la fórmula:

\[
\frac{1}{6} \ln \left| \frac{u - 3}{u + 3} \right| + C
\]

Sustitución Final

Recordemos que \( u = x + 2 \), por lo que:

\[
\int \frac{dx}{5 - 4x - x^2} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{(x+2) - 3}{(x+2) + 3} \right| + C
\]

Simplificamos la expresión:

\[
\int \frac{dx}{5 - 4x - x^2} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-1}{x+5} \right| + C
\]

Resultado Final

\[
\boxed{\int \frac{dx}{5 - 4x - x^2} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-1}{x+5} \right| + C }
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Para resolver esta integral, primero completaremos el cuadrado en el denominador.

Dado el trinomio \( x^2 + x - 2 \), lo manipulamos para obtener un trinomio cuadrado perfecto.

Agrupamos los términos cuadráticos y lineales:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + x) - 2}}
\]

Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( 1 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Sumamos y restamos \( \frac{1}{4} \) dentro del paréntesis:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2}}
\]

Agrupamos los primeros tres términos, formando un trinomio cuadrado perfecto:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}}}
\]

Simplificamos la constante:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^2}}
\]

Ahora aplicamos la forma estándar de integración para diferencias de cuadrados:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{u^2 - a^2}}
\]

Donde hacemos el cambio de variable:

\[
u = x + \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Y notamos que:

\[
a = \frac{3}{2}
\]

Reescribimos la integral en términos de \( u \):

\[
\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^2}}
\]

Aplicamos la fórmula estándar:

\[
\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - a^2} \right| + C
\]

Sustituimos \( u \) y \( a \):

\[
\ln \left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^2} \right| + C
\]

Desarrollamos el radicando nuevamente:

\[
\sqrt{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^2}
=
\sqrt{x^2 + x - 2}
\]

Por lo tanto, el resultado final es:

\[
\boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x - 2}} = \ln \left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x - 2} \right| + C }
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Para resolver esta integral, primero completaremos el cuadrado en el denominador.

Ordenamos el trinomio cuadrático:

\[
\int \frac{dx}{-x^2 - 2x + 8}
\]

Factorizamos el signo negativo:

\[
\int \frac{-dx}{x^2 + 2x - 8}
\]

Procedemos a completar el cuadrado. Tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( 2 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{2}{2} \right)^2 = 1
\]

Sumamos y restamos 1 dentro del paréntesis:

\[
\int \frac{-dx}{(x^2 + 2x + 1 - 1 - 8)}
\]

Agrupamos los primeros tres términos formando un trinomio cuadrado perfecto:

\[
\int \frac{-dx}{(x+1)^2 - 9}
\]

Simplificamos la constante:

\[
\int \frac{-dx}{(x+1)^2 - 3^2}
\]

Ahora, al aplicar la forma estándar de integrales con diferencia de cuadrados, debemos considerar que el signo negativo en el numerador se cancela con el signo negativo del denominador, por lo que la integral queda:

\[
\int \frac{dx}{3^2 - (x+1)^2}
\]

Invertimos los términos del denominador para ajustarlo a la forma estándar:

\[
\int \frac{dx}{a^2 - u^2}
\]

Donde hacemos el cambio de variable:

\[
u = x + 1 \quad \Rightarrow \quad du = dx
\quad \text{y} \quad a = 3
\]

Aplicamos la fórmula estándar para integrales con diferencia de cuadrados:

\[
\int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+u}{a-u} \right| + C
\]

Sustituimos los valores correspondientes:

\[
\frac{1}{6} \ln \left| \frac{3+(x+1)}{3-(x+1)} \right| + C
\]

Simplificamos el argumento del logaritmo:

\[
\frac{1}{6} \ln \left| \frac{x+4}{x-2} \right| + C
\]

Por lo tanto, el resultado final es:

\[
\boxed{ \int \frac{dx}{8 - 2x - x^2} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x+4}{x-2} \right| + C }
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Completamos el Cuadrado en el Denominador

El denominador es un trinomio cuadrático \( x^2 + x + 1 \). Para completar el cuadrado, tomamos el coeficiente de \( x \), que es \( 1 \), lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

\[
\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Sumamos y restamos \( \frac{1}{4} \) dentro del paréntesis:

\[
x^2 + x + 1 = \left( x^2 + x + \frac{1}{4} \right) + \frac{3}{4}
\]

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman un trinomio cuadrado perfecto:

\[
\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Por lo tanto, podemos reescribir la integral como:

\[
\int \frac{x+1}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} \, dx
\]

Realizamos un cambio de variable para simplificar la integral:

\[
u = x + \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad du = dx
\]

Sustituimos en la integral:

\[
\int \frac{u + \frac{3}{2}}{u^2 + \frac{3}{4}} \, du
\]

Separando los Términos

Podemos dividir la fracción en dos términos:

\[
\int \left( \frac{u}{u^2 + \frac{3}{4}} + \frac{\frac{3}{2}}{u^2 + \frac{3}{4}} \right) \, du
\]

Resolviendo el Primer Término

El primer término es una integral estándar que se resuelve con el logaritmo natural:

\[
\int \frac{u}{u^2 + \frac{3}{4}} \, du = \frac{1}{2} \ln \left( u^2 + \frac{3}{4} \right)
\]

Resolviendo el Segundo Término

El segundo término es una integral de la forma \( \int \frac{1}{u^2 + a^2} \), cuya solución es el arco tangente:

\[
\int \frac{1}{u^2 + \frac{3}{4}} \, du = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2u}{\sqrt{3}} \right)
\]

Sustituyendo el Cambio de Variable

Recordamos que \( u = x + \frac{1}{2} \), por lo que sustituimos \( u \) de vuelta:

\[
\int \frac{x+1}{x^2 + x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \right) + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2 \left( x + \frac{1}{2} \right)}{\sqrt{3}} \right) + C
\]

Por lo tanto, el resultado final es:

\[
\boxed{ \int \frac{x+1}{x^2 + x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C }
\]

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Puntos a considerar sobre este tipo de integrales

Toma en cuenta y a detalle algunas consideraciones que debes de tener a la hora de integrar, sé que no es fácil si estás comenzando pero como todo requiere mucha práctica.

• Identifica el trinomio cuadrático, busca siempre en el denominador o la expresión de la forma ax² + bx + c
• Completa siempre los cuadrados
• Ajusta la integral, siempre reescribe la integral con el cuadrado completo, la forma de la integral te dará formas cómo
  u² + a², u² - a² o a² - u², que sugieren arcotangente o logaritmos.
• Cambio de variable (si aplica)
• Verificar signos y dominios: Asegúrate de que los logaritmos sean positivos (ajusta con valor absoluto si es necesario) y revisa el signo final derivando el resultado para confirmar que coincide con el integrando original.

Espero que con esta información puedas resolver las integrales sin ningún problema.