Integrales por Sustitución - Ejercicios Resueltos

En esta publicación aprenderás a resolver ejercicios de integrales por sustitución, también llamado como integrales por cambio de variable e incluso integrales por regla de la cadena, en fin, este método de integración puede tener varios nombres según el contexto, pero lo importante es que aprenderás a resolver integrales que poseen el producto de una función compuesta.

La técnica fue desarrollada por Gottfried Wilhelm Leibniz, co-inventor del cálculo, como parte de su trabajo en el Teorema Fundamental del Cálculo. Su notación diferencial permitió formalizar este método, como se ve a continuación.

¿Cómo identificar una integral por sustitución - U?

Cuando tenemos que integrar una diferencial, producto de una función compuesta, es conveniente hacer un cambio de variable para facilitar el proceso de integración, en una integral de la forma:

$\displaystyle \int{{f\left[ {g(x)} \right]}}g'(x)dx$

Al hacer $\displaystyle u=g(x)$ y $\displaystyle du=g'(x)$ la integral se puede escribir como:

$\displaystyle \int{{f(u)du}}$

Si $\displaystyle F(u)+C$ es la antiderivada de la expresión anterior, se concluye que:

$\displaystyle \int{{f(u)du=F(u)+C}}=F\left[ {g(x)} \right]+C$

Pero para poder entender mejor este tipo de integrales, lo mejor es ver ejercicios resueltos de integración por sustitución o cambio de variable y aprenderlo mediante la práctica. Así que empecemos con las integrales que se resuelven con este método.

Ejercicios Resueltos de Integrales por Sustitución o Cambio de Variable

Solución:

Lo principal de esta integral, es observar a quién hacer u y después la derivada du nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {u={{x}^{2}}+3} & \Rightarrow & {du=2xdx} \end{array}$

Por lo tanto, nuestra integral se transforma en términos de u y se resuelve

$\displaystyle \int{{udu=\frac{{{{u}^{2}}}}{2}+C}}$

Regresamos al valor original a dicha integral y cambiamos la variable de vuelta (en términos de "x").

$\displaystyle \int{{udu=\frac{{{{u}^{2}}}}{2}+C}}=\frac{{{{{\left( {{{x}^{2}}+3} \right)}}^{2}}}}{2}+C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \int{{({{x}^{2}}+3)2xdx}}=\frac{{{{{\left( {{{x}^{2}}+3} \right)}}^{2}}}}{2}+C$

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u=x^2} & \Rightarrow & {du=2x dx}
\end{array}$

Despejamos \( xdx \):

$\displaystyle xdx = \frac{du}{2}$

Por lo tanto, nuestra integral se transforma en términos de \( u \):

$\displaystyle \int{x e^{x^2}dx} = \int{e^u \frac{du}{2}}$

Resolviendo la integral:

$\displaystyle \frac{1}{2} \int{e^u du} = \frac{1}{2} e^u + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \int{{x{{e}^{{{{x}^{2}}}}}dx}}=\frac{1}{2}{{e}^{{{{x}^{2}}}}}+C$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u=2x - 3} & \Rightarrow & {du=2dx}
\end{array}$

Despejamos \( dx \):

$\displaystyle dx = \frac{du}{2}$

Por lo tanto, nuestra integral se transforma en términos de \( u \):

$\displaystyle \int{2\sin(2x - 3)dx} = \int{2\sin(u) \frac{du}{2}}$

Simplificamos:

$\displaystyle \int{2\sin(u) \frac{du}{2}} = \int{\sin(u) du}$

Resolviendo la integral:

$\displaystyle -\cos(u) + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle -\cos(2x - 3) + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int{2\sin(2x - 3)dx} = -\cos(2x - 3) + C}$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u=2+x^2} & \Rightarrow & {du=2x dx}
\end{array}$

Despejamos \( dx \):

$\displaystyle du = 2x dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2x}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int 2(2+x^2)^{3/2}dx = 2\int u^{3/2}dx$

Dado que \( du = 2x dx \), pero no tenemos un \( x \) en la integral, observamos que la sustitución elegida no es la más adecuada. En su lugar, probamos la siguiente sustitución:

Sea:

$\displaystyle u = 2 + x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x dx$

Vemos que no tenemos un \( xdx \), por lo que integramos directamente con respecto a \( u \):

$\displaystyle \int 2 u^{3/2} du$

Factorizamos la constante \( 2 \):

$\displaystyle 2 \int u^{3/2} du$

Aplicamos la fórmula de la integral de una potencia:

$\displaystyle \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$

En este caso, \( n = \frac{3}{2} \), por lo que:

$\displaystyle 2 \times \frac{u^{5/2}}{5/2} + C$

Simplificamos:

$\displaystyle 2 \times \frac{2}{5} u^{5/2} + C$

$\displaystyle \frac{4}{5} u^{5/2} + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{4}{5} (2+x^2)^{5/2} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int 2(2+x^2)^{3/2}dx = \frac{4}{5} (2+x^2)^{5/2} + C}$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u = 2 + 3x} & \Rightarrow & {du = 3dx}
\end{array}$

Despejamos \( dx \):

$\displaystyle dx = \frac{du}{3}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int \frac{dx}{2+3x} = \int \frac{\frac{du}{3}}{u}$

Sacamos la constante fuera de la integral:

$\displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}$

La integral de \( \frac{1}{u} \) es \( \ln |u| \), por lo que:

$\displaystyle \frac{1}{3} \ln |u| + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{1}{3} \ln |2+3x| + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int \frac{dx}{2+3x} = \frac{1}{3} \ln |2+3x| + C}$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

Definimos:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u = c + a e^\theta} & \Rightarrow & {du = a e^\theta d\theta}
\end{array}$

Despejamos \( e^\theta d\theta \):

$\displaystyle e^\theta d\theta = \frac{du}{a}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int \frac{e^\theta d\theta}{c + a e^\theta} = \int \frac{\frac{du}{a}}{u}$

Sacamos la constante fuera de la integral:

$\displaystyle \frac{1}{a} \int \frac{du}{u}$

La integral de \( \frac{1}{u} \) es \( \ln |u| \), por lo que:

$\displaystyle \frac{1}{a} \ln |u| + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{1}{a} \ln |c + a e^\theta| + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int \frac{e^\theta d\theta}{c + a e^\theta} = \frac{1}{a} \ln |c + a e^\theta| + C}$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

Definimos:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u = 1 - \cos 5x} & \Rightarrow & {du = 5 sen 5x dx}
\end{array}$

Despejamos \( sen 5x dx \):

$\displaystyle sen 5x dx = \frac{du}{5}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int \frac{sen 5x}{1 - \cos 5x} dx = \int \frac{\frac{du}{5}}{u}$

Sacamos la constante fuera de la integral:

$\displaystyle \frac{1}{5} \int \frac{du}{u}$

La integral de \( \frac{1}{u} \) es \( \ln |u| \), por lo que:

$\displaystyle \frac{1}{5} \ln |u| + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{1}{5} \ln |1 - \cos 5x| + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int \frac{sen 5x}{1 - \cos 5x} dx = \frac{1}{5} \ln |1 - \cos 5x| + C}$

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Solución:

Lo principal de esta integral es observar a quién hacer \( u \), y después la derivada \( du \) nos proporcionará el complemento de la función, y así poder integrarla.

Definimos:

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}
{u = e^{\sqrt{x}} - 1} & \Rightarrow & {du = e^{\sqrt{x}} \frac{dx}{2\sqrt{x}}}
\end{array}$

Multiplicamos por 2 en ambos lados para despejar \( dx \):

$\displaystyle 2du = e^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}} \sqrt{e^{\sqrt{x}} - 1}}{\sqrt{x}} dx = \int \sqrt{u} \cdot 2du$

Factorizamos la constante:

$\displaystyle 2 \int u^{1/2} du$

Resolviendo la integral:

$\displaystyle 2 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3} u^{3/2} + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{4}{3} (e^{\sqrt{x}} - 1)^{3/2} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int{{\frac{{e^{\sqrt{x}} \sqrt{e^{\sqrt{x}} - 1}}}{\sqrt{x}}}}dx = \frac{4}{3} (e^{\sqrt{x}} - 1)^{3/2} + C}$

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Solución:

Para resolver esta integral por cambio de variable, identificamos que la expresión \( t^3 - 4 \) puede ser simplificada mediante un cambio de variable.

Definimos:

$\displaystyle u = t^3 - 4$

Derivando ambos lados:

$\displaystyle du = 3t^2 \, dt$

De aquí despejamos \( t^2 \, dt \):

$\displaystyle t^2 \, dt = \frac{du}{3}$

Sustituimos en la integral:

$\displaystyle \int t^2 (t^3 - 4) \, dt = \int \frac{u}{3} \, du$

Sacamos la constante fuera de la integral:

$\displaystyle \frac{1}{3} \int u \, du$

Integrando:

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{6} + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{(t^3 - 4)^2}{6} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int t^2 (t^3 - 4) \, dt = \frac{(t^3 - 4)^2}{6} + C}$

Otra solución:

Primero, expandimos el producto:

$\displaystyle t^2 (t^3 - 4) = t^5 - 4t^2$

Así que la integral se convierte en:

$\displaystyle \int (t^5 - 4t^2) \, dt$

Ahora integramos término por término:

$\displaystyle \int t^5 \, dt = \frac{t^6}{6}$

$\displaystyle \int -4t^2 \, dt = -\frac{4t^3}{3}$

Por lo tanto, la solución es:

$\displaystyle \frac{t^6}{6} - \frac{4t^3}{3} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int t^2 (t^3 - 4) \, dt = \frac{t^6}{6} - \frac{4t^3}{3} + C}$

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Solución:

Para resolver esta integral por cambio de variable, vamos a observar que la raíz cuadrada contiene una expresión cúbica, lo cual nos permite hacer un cambio de variable apropiado.

Definimos:

$\displaystyle u = x^3 - 6x + 3$

Derivando ambos lados:

$\displaystyle du = (3x^2 - 6) dx$

Ahora, observamos que la expresión \( x^2 - 2 \) se puede reescribir como \( (3x^2 - 6) / 3 \), por lo que:

$\displaystyle x^2 - 2 = \frac{du}{3}$

Sustituyendo en la integral:

$\displaystyle \int (x^2 - 2) \sqrt{x^3 - 6x + 3} \, dx = \int \frac{1}{3} \sqrt{u} \, du$

Sacamos la constante fuera de la integral:

$\displaystyle \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du$

Integrando:

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{9} u^{3/2} + C$

Regresamos a la variable original:

$\displaystyle \frac{2}{9} (x^3 - 6x + 3)^{3/2} + C$

Así que el resultado de esta integral es:

$\displaystyle \boxed{\int (x^2 - 2) \sqrt{x^3 - 6x + 3} \, dx = \frac{2}{9} (x^3 - 6x + 3)^{3/2} + C}$

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