Integrales por Sustitución Trigonométrica

Uno de los métodos de integración que más nos pidieron nuestros lectores, fue este método, el método de integración por sustitución trigonométrica, este tipo de integrales en las que aparece las formas $\displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}$ , $\displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$ o $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$ , por lo general pueden simplificarse haciendo una sustitución trigonométrica. En estos casos, se transforma el integrando en una forma trignométrica semejante a las qué se han visto en el blog.

Es muy importante mencionar que este tipo de integrales, no necesarimente se pueden resolver aplicando una sustitución trigonométrica, hay formas para realizar las integrales aplicando otro método en algunos casos, pero aquí explicaremos puramente los de sustitución trigonométrica.

Pasos Para Realizar las Integrales Por Sustitución Trigonométrica

Vamos a explicar brevemente, como realizar los pasos correctamente para entender la finalidad de este método de integración. Lo primero que debemos entender, es ¿cómo es la integral que vamos a resolver? ¿a qué tipo de integral se parece?, observa la tabla y verifica el cambio trigonométrico que se sugiere:

Paso 1:

Lo primero que debemos de realizar, es el cambio de variable que corresponde conforme al radical que aparezca y efectuar las operaciones algebraicas que sean necesarias para que desaparezca el radical, con lo cual la integral original se transforma en una integral trigonométrica.

Paso 2:

Realizar la integral trigonométrica que resultó en el paso anterior, si hay que simplificar se simplifica a lo máximo y se ocupan las identidades trigonométricas más comunes:

Paso 3:

Regresar a la variable original, para lo cual debemos de tener en cuenta:

• a) Se despeja la variable en función del ángulo usado en el cambio de variable.
• b) Se dibuja un triángulo rectángulo que represente la relación trigonométrica elegida y se calcula el lado faltante con el Teorema de Pitágoras. Ese lado siempre será la raíz cuadrada original. A partir de ahí, se encuentran los valores de las demás funciones trigonométricas usadas en la integral.
• c) Se reemplazan esas funciones trigonométricas en el resultado obtenido en el paso anterior.

Como siempre mencionamos en el blog, no hay mejor forma que realizar ejercicios para entenderlo mucho mejor:

Ejercicios Resueltos de Integrales por Sustitución Trigonométrica

Solución:

Realizamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = 2\sin\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = 2\cos\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{2\cos\theta \, d\theta}{\sqrt{4 - (2\sin\theta)^2}}
\]

Simplificamos la raíz:

\[
\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{2\cos\theta \, d\theta}{2\cos\theta}
\]

Cancelamos \(2\cos\theta\):

\[
\int d\theta
\]

Integrando:

\[
\theta + C
\]

Dado que \(x = 2\sin\theta\), despejamos \(\theta\):

\[
\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)
\]

Podemos guiarnos también, a través del triángulo:

Por lo tanto, el resultado es:

\[
\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C}
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Realizamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = 3\tan\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = 3\sec^2\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{3\sec^2\theta \, d\theta}{\sqrt{(3\tan\theta)^2 + 9}}
\]

Simplificamos la raíz:

\[
\sqrt{9\tan^2\theta + 9} = \sqrt{9(\tan^2\theta + 1)} = \sqrt{9\sec^2\theta} = 3\sec\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{3\sec^2\theta \, d\theta}{3\sec\theta}
\]

Cancelamos \(3\sec\theta\):

\[
\int \sec\theta \, d\theta
\]

La integral de \(\sec\theta\) es:

\[
\ln \left| \sec\theta + \tan\theta \right| + C
\]

Aplicando el triángulo:

Como \( x = 3\tan\theta \), despejamos \(\theta\):

\[
\tan\theta = \frac{x}{3} \quad \Rightarrow \quad \sec\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3}
\]

Sustituyendo en la solución:

\[
\ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{x}{3} \right| + C
\]

Factorizamos \( \frac{1}{3} \) dentro del logaritmo:

\[
\ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3} \right| + C
\]

Finalmente, el resultado es:

\[
\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \ln \left| \sqrt{x^2 + 9} + x \right| + C}
\]

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Solución:

Realizamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = \sqrt{5} \sin\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = \sqrt{5} \cos\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{\sqrt{5} \sin\theta \cdot \sqrt{5} \cos\theta \, d\theta}{\sqrt{5 - (\sqrt{5} \sin\theta)^2}}
\]

Simplificamos la raíz:

\[
\sqrt{5 - 5\sin^2\theta} = \sqrt{5(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{5\cos^2\theta} = \sqrt{5} \cos\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{5\sin\theta \cos\theta \, d\theta}{\sqrt{5} \cos\theta}
\]

Cancelamos \( \sqrt{5} \cos\theta \):

\[
\int \sqrt{5} \sin\theta \, d\theta
\]

Sacamos la constante:

\[
\sqrt{5} \int \sin\theta \, d\theta
\]

La integral de \( \sin\theta \) es \( -\cos\theta \), por lo que:

\[
-\sqrt{5} \cos\theta + C
\]

Podemos guiarnos del triángulo:

Dado que \( x = \sqrt{5} \sin\theta \), despejamos \( \cos\theta \):

\[
\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{5}} = \frac{\sqrt{5 - x^2}}{\sqrt{5}}
\]

Sustituyendo en la solución:

\[
-\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5 - x^2}}{\sqrt{5}} + C
\]

Cancelamos \( \sqrt{5} \):

\[
-\sqrt{5 - x^2} + C
\]

Finalmente, el resultado es:

\[
\boxed{\int \frac{x \, dx}{\sqrt{5 - x^2}} = -\sqrt{5 - x^2} + C}
\]

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Solución:

Reescribimos la integral en una forma más conveniente:

\[
\int \frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}
\]

Usamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = \tan\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = \sec^2\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{\sec^2\theta \, d\theta}{(\tan^2\theta + 1)^{3/2}}
\]

Utilizamos la identidad \( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \), por lo que:

\[
\int \frac{\sec^2\theta \, d\theta}{(\sec^2\theta)^{3/2}}
\]

Simplificamos la potencia:

\[
\int \frac{\sec^2\theta \, d\theta}{\sec^3\theta} = \int \sec^{-1}\theta \, d\theta
\]

Sabemos que:

\[
\int \frac{d\theta}{\sec\theta} = \int \cos\theta \, d\theta
\]

La integral de \( \cos\theta \) es \( \sin\theta \), por lo que:

\[
\sin\theta + C
\]

Como \( x = \tan\theta \), despejamos \( \sin\theta \):

Podemos guiarnos con el triángulo:

\[
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
\]

Sustituyendo en la solución:

\[
\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + C
\]

Finalmente, el resultado es:

\[
\boxed{\int \frac{dx}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^3} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + C}
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Solución:

Usamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = 2\sin\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = 2\cos\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \sqrt{4 - (2\sin\theta)^2} \cdot 2\cos\theta \, d\theta
\]

Simplificamos la raíz:

\[
\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int (2\cos\theta \cdot 2\cos\theta) \, d\theta
\]

\[
\int 4\cos^2\theta \, d\theta
\]

Usamos la identidad:

\[
\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\]

Sustituyendo:

\[
\int 4 \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta
\]

\[
\int 2(1 + \cos 2\theta) \, d\theta
\]

Distribuimos:

\[
2\int d\theta + 2\int \cos 2\theta \, d\theta
\]

La integral de \( d\theta \) es \( \theta \), y la integral de \( \cos 2\theta \) es \( \frac{\sin 2\theta}{2} \), por lo que:

\[
2\theta + 2 \cdot \frac{\sin 2\theta}{2} + C
\]

\[
2\theta + \sin 2\theta + C
\]

Expresamos en términos de \( x \):

Sabemos que:

\[
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
\]

Por el triángulo tenemos que:

\[
\sin\theta = \frac{x}{2}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}
\]

Por lo que:

\[
\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}
\]

También sabemos que:

\[
\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)
\]

Sustituyendo en la solución:

\[
2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C
\]

Finalmente, el resultado es:

\[
\boxed{\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C}
\]

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Solución

Usamos la sustitución trigonométrica:

\[
x = \frac{3}{2} \sec\theta
\]

Derivamos ambos lados:

\[
dx = \frac{3}{2} \sec\theta \tan\theta \, d\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{\sqrt{4\left(\frac{9}{4} \sec^2\theta\right) - 9}}{\frac{3}{2} \sec\theta} \cdot \frac{3}{2} \sec\theta \tan\theta \, d\theta
\]

Simplificamos la raíz:

\[
4\left(\frac{9}{4} \sec^2\theta\right) - 9 = 9\sec^2\theta - 9 = 9(\sec^2\theta - 1) = 9\tan^2\theta
\]

Por lo que:

\[
\sqrt{9\tan^2\theta} = 3\tan\theta
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{3\tan\theta}{\frac{3}{2} \sec\theta} \cdot \frac{3}{2} \sec\theta \tan\theta \, d\theta
\]

Cancelamos términos:

\[
\int 3\tan^2\theta \, d\theta
\]

Usamos la identidad:

\[
\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1
\]

Sustituyendo:

\[
\int 3(\sec^2\theta - 1) \, d\theta
\]

\[
3\int \sec^2\theta \, d\theta - 3\int d\theta
\]

Sabemos que:

\[
\int \sec^2\theta \, d\theta = \tan\theta, \quad \int d\theta = \theta
\]

Por lo que:

\[
3\tan\theta - 3\theta + C
\]

Expresamos en términos de \( x \):

Sabemos que:

\[
\sec\theta = \frac{2x}{3}
\]

Aplicando el triángulo:

Por lo que:

\[
\tan\theta = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \sqrt{\frac{4x^2}{9} - 1} = \frac{\sqrt{4x^2 - 9}}{3}
\]

También sabemos que:

\[
\theta = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{3}\right)
\]

Sustituyendo en la solución:

\[
3 \cdot \frac{\sqrt{4x^2 - 9}}{3} - 3\sec^{-1}\left(\frac{2x}{3}\right) + C
\]

\[
\sqrt{4x^2 - 9} - 3\sec^{-1}\left(\frac{2x}{3}\right) + C
\]

Finalmente, el resultado es:

\[
\boxed{\int \frac{\sqrt{4x^2 - 9}}{x} \, dx = \sqrt{4x^2 - 9} - 3\sec^{-1}\left(\frac{2x}{3}\right) + C}
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇