Ley de Tangentes - Ejercicios Resueltos

Hey que tal!!! antes de iniciar el artículo, perdonar la falta de acentuación en el comic de arriba, pero el tipo de fuente no permite agregar acentos.. 🙁

Ahora si... En la semana publicamos dos artículos relacionados con la ley de senos y la ley de cosenos. En la cual se desarrollaron algunos ejercicios resueltos e indicado para que tipo de casos se suelen aplicar. Pero estoy seguro que también te has hecho la pregunta. ¿Y existirán también ley para las tangentes?

La respuesta es Siii! las tangentes también tienen sus propias leyes y sirven para lo mismo, para encontrar ya sea ángulos o lados de los triángulos oblicuángulos entonces ¿cómo podemos aplicarlo?

Contenidos

Fórmula para ley de tangentes
Ejemplos resueltos de la ley de tangentes

Fórmula para ley de tangentes

La fórmula para resolver ejercicios donde apliquemos ley de tangentes, es la siguiente:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

tangentes triangulo

¿Qué nos dice la fórmula de la ley de tangentes?, el cociente entre la suma y resta de dos lados es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma de dichos ángulos.

Puede ser un poco confuso entender teóricamente lo que significa, pero veamos un ejemplo resuelto.

Ejemplos resueltos de la ley de tangentes

1.- En el triángulo ABC, c = 10 cm, A = 68° , C = 36°, Resuelve el triángulo

Solución: Si observamos, tenemos el siguiente triángulo:

tangentes 1

Si tenemos el lado c y el ángulo C podemos relacionarlo con otro lado y su ángulo opuesto, para esta ley no nos servirá de nada tener un lado que no conocemos y su ángulo opuesto que tampoco conocemos, necesitamos al menos un ángulo conocido y el lado opuesto o viceversa. 😎

En este ejemplo tenemos el ángulo A, pero nos falta su lado, entonces ahí si podemos aplicar nuestra ley de tangentes, para ello, usaremos la fórmula:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

y sustituimos nuestros datos:

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -36{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +36{}^\circ }{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan ({{16}^{{}^\circ }})}{\tan ({{52}^{{}^\circ }})}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{0.2867}{1.2799}$

realizamos el cociente de los decimales de las tangentes.

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=0.2240$

Empezamos a despejar nuestra variable "a"

$\displaystyle a-10=0.2240(a+10)$

$\displaystyle a-10=0.2240a+2.240$

$\displaystyle a-0.2240a=2.240+10$

$\displaystyle 0.776a=12.240$

$\displaystyle a=\frac{12.240}{0.776}=15.77cm$

$\displaystyle a=15.77cm$

que sería nuestro lado a, ahora podemos calcular nuestro lado restante, con la misma ley. Pero para ello, hay que conocer el ángulo B, que podemos hallarlo muy fácil mediante lo siguiente:

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ$

$\displaystyle 68{}^\circ +\angle B+36{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=180{}^\circ -68{}^\circ -36{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=76{}^\circ$

Por lo que tenemos el ángulo de B, ahora si podemos resolver mediante la ley, para encontrar el lado b

Podemos elegir el lado a y b, o podemos elegir la fórmula donde relaciona al lado c y b, eso queda a nuestra elección... Ya que podemos encontrar el lado de b, mediante las dos fórmulas:

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

En este caso, usaremos el lado a y b.

y empezamos a sustituir datos.

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -76{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +76{}^\circ }{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{\tan \left( -{{4}^{{}^\circ }} \right)}{\tan \left( {{72}^{{}^\circ }} \right)}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{-0.0699}{3.0776}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=-0.0227$

$\displaystyle 15.77-b=-0.0227(15.77+b)$

despejando a "b"

$\displaystyle 15.77-b=-0.3579-0.0227b$

$\displaystyle -b+0.0227b=-0.3579-15.77$

$\displaystyle -0.9773b=-16.1279$

$\displaystyle b=\frac{-16.1279}{-0.9773}=16.5025cm$

$\displaystyle b=16.5025cm$

Y listo...! 😎

Con esta ley podemos encontrar también los lados y ángulos de un triángulo oblicuángulo...

Intenta bajar los ejercicios para la ley de senos, y resuélvelos por el mismo método 🙂

Carlos julián

Carlos Julián es Ingeniero Mecatrónico, profesor de Física y Matemáticas.

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28 Comentarios Publicados

Alejandro dice:

1 enero, 2016 a las 2:12 pm

Hola 🙂
disculpa, cuando
comienzas a despejar "b", en el 3er paso ¿de donde sale -0.9773b? ayúdame por favor 😀

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  2 enero, 2016 a las 10:18 am
  
  Muy fácil Alejandro.
  Recuerda que tenemos esta parte:
  - b + 0.0227b = -0.3579 - 15.77
  Si te das cuenta el ( - b ) , tiene el coeficiente de - 1, no se coloca pero ahí está, entonces obtienes lo siguiente:
  -1b + 0.0227b = - 0.9773b
  En pocas palabras, estamos restando -1 a 0.0227
  Saludos 🙂
  
  Responder
  1. Alejandro dice:
    
    2 enero, 2016 a las 11:21 am
    
    ya entendí, muchas gracias 😀
    saludos 🙂
    
    Responder
  2. Vanessa dice:
    
    3 diciembre, 2022 a las 7:45 pm
    
    No entiendo, al restar -0.3579-15,77 da un resultado de -16.1279. ¿Cómo da -0,9773b?
    
    Responder
    1. Carlos julián dice:
      
      5 diciembre, 2022 a las 9:01 am
      
      Vanessa observa el primer comentario, ahí está explicado paso a paso.
      
      Responder
2. pes le sacas la tangente dice:
  
  7 mayo, 2023 a las 12:06 pm
  
  holaaaaaaaaaaaaaaaaaa soy nuevo y soy maytematico con 15 años toy solito buco nv xD
  
  Responder
Julian dice:

27 enero, 2016 a las 9:47 am

Hola, como resolvería un triángulo en el que me dan dos lados y un ángulo, con la ley de la tangente???

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  27 enero, 2016 a las 10:17 am
  
  Tienes que analizar si es posible o no, en este caso no es posible, para eso hay otras leyes que las puedes buscar en el blog.
  Observa la fórmula, ahí te puedes dar cuenta si es posible o no.
  
  Responder
  1. Alejandro dice:
    
    22 mayo, 2016 a las 11:05 pm
    
    diaculpa como se llaman esas otras leyes
    Para resolver ese tipo de triangulo que mensiona Julian
    
    Responder
    1. Carlos julián dice:
      
      24 mayo, 2016 a las 7:20 am
      
      Hola Alejandro!
      Recuerde que son tres leyes las que resuelven triángulos de este tipo, la ley de senos, cosenos y tangentes. Las funciones trigonométricas principales.
      
      Responder
    2. Anyi dice:
      
      2 mayo, 2020 a las 11:34 am
      
      Disculpa me podrías ayudar a saber que fórmula puedo aplicar para dos ángulos dos lados ?
      
      Responder
nayeli ortiz dice:

19 abril, 2017 a las 10:23 pm

hola 🙂 quiero preguntar sobre los secantes de la trigonometria y me han ayudadon muchos tus ejerccios.

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  26 abril, 2017 a las 8:23 am
  
  La secante como tal tiene un interpretación geométrica que nos indica que es una recta que toca dos veces a una curva, a diferencia de la tangente que solamente la toca una vez. Ahora si te refieres a la secante trigonométrica, su interpretación es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
  Saludos
  
  Responder
Geovanni dice:

25 mayo, 2017 a las 6:27 pm

hola perdona pero en donde se aplican las leyes de senos y ley de cosenos? POR FAVOR AIUDAAA DX

Responder
Daniela Sanchez dice:

31 mayo, 2017 a las 12:45 pm

hola al iniciar a 68º le restas 36 y lo divides entre 2 da 16 por que pones 15? y cuando despejas la variable "a" pones un 0.776 o_O?

Responder
1. Fernanda Ramírez dice:
  
  15 septiembre, 2022 a las 7:56 pm
  
  Hola! al despejar la variable "a" y no tener coeficiente, se considera que su coeficiente es 1. Este es el caso, por lo tanto sería 1a - 0,224 a.
  Para resolver, agruparemos los términos semejantes restando sus coeficientes:
  (1 - 0,224) a = 0,766 a
  Y listo, Daniela!
  
  Responder
  1. Carlos julián dice:
    
    16 septiembre, 2022 a las 8:46 am
    
    Muchas gracias Fernanda!
    
    Responder
Santiago dice:

29 junio, 2017 a las 6:53 pm

Pero, ¿existe un caso el cual solo se pueda resolver usando la ley de la tangente? Porque este se puede resolver usando la ley del seno y mucho más sencillo.

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  5 julio, 2017 a las 10:24 pm
  
  Es solo opcional, no obligatorio, es por eso que solo se enseña la ley de senos y cosenos.
  
  Responder
anonimato matematico dice:

21 julio, 2018 a las 9:26 pm

el ejercicio esta completamete mal desde la parte de los grados de la tangente no es 15 y 55 si no 16 y 52

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  4 noviembre, 2018 a las 11:17 am
  
  Estaba mal escrito los números, pero el procedimiento está bien. Todo está actualizado y bien. Saludos y gracias 😀
  
  Responder
Norma dice:

11 marzo, 2019 a las 6:04 pm

una pregunta, como puedo despejar la ecuación si me pidiera el valor del angulo en B y en A, ?????

Responder
Yazmin dice:

8 abril, 2019 a las 9:34 pm

Una pregunta de dos e sale el resultado de 2.867/1.2799

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  9 abril, 2021 a las 1:17 pm
  
  Específicamente de donde?
  
  Responder
Chinchillas dice:

7 mayo, 2019 a las 11:33 am

una pregunta, como se aplica la ley de tangente cuando conocemos todos los lados, pero ningun angulo?

Responder
1. Carlos julián dice:
  
  9 abril, 2021 a las 1:17 pm
  
  No, intenta fijarte bien la diferencia entre las leyes, esta ley puede ser un recurso, para otras leyes. Más no que sea de aplicación única.
  
  Responder
Steven dice:

10 agosto, 2021 a las 9:55 am

Nesesito ayuda ☹️👌🏽

Responder
Ayrin dice:

7 junio, 2023 a las 12:33 am

Hola, una pregunta cuando despejaste la variable a , de donde sacaste 2,240

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