Potencial Eléctrico - Ejercicios Resueltos

En este artículo hablaremos sobre la Energía Potencial Eléctrica, o Potencial Eléctrico, e incluso algunos autores manejan el término de Energía Potencial Electrostática, sea cualquiera de los términos, el estudio de este tema es de gran importancia para aprender por completo el término relacionado por el trabajo que realizan las cargas y cada una de las variables.

? ¿Qué es la energía potencial eléctrica?

Considere un conductor electrizado positivamente, por ejemplo, con carga Q, fijo en un determinado lugar, libre de la influencia de otras cargas eléctricas. Ya sabemos que, en la región del espacio que envuelve ese cuerpo, existe un campo eléctrico generado por las cargas en él existentes.

Ahora, vamos a dejar en un punto P una carga de prueba q, también positiva, a una distancia d del conductor. Debido al campo eléctrico, la carga de prueba será repelida y se alejará del conductor, ganando velocidad y, consecuentemente, adquiriendo energía cinética (energía de movimiento). Observe que la carga q, si fuera negativa, sería atraída, y no repelida.

Por adquirir energía cinética, podemos concluir que, en el punto P, la carga de prueba q almacena una energía potencial denominada energía potencial electrostática o eléctrica, que vamos a simbolizar por Ep.

Esta energía potencial se transforma, en consecuencia, en energía cinética. Así, podemos decir que la carga Q del conductor produce un campo eléctrico que también puede ser descrito por una magnitud escalar denominada potencial electrostático (o eléctrico).

Este potencial electrostático en el punto P traduce la energía potencial eléctrica almacenada por unidad de carga colocada en esa ubicación.

El potencial, simbolizado por V, se define por la expresión:

En el SI (Sistema Internacional), la unidad de potencial eléctrico es el volt, de símbolo V, así denominado en homenaje a Alessandro Volta (1745-1827).

Como hemos visto:

$latex \displaystyle V=\frac{{{E}_{p}}}{q}$

Es decir:

$latex \displaystyle volt=\frac{joule}{coulomb}$

 ⭐ Consideraciones del Potencial Eléctrico

• En realidad, la energía potencial es adquirida por el sistema Q y q. Si estas dos cargas pueden moverse, ellas obtendrán energía cinética a partir de esa energía potencial. Cuando, sin embargo, la carga Q es fija (lo que ocurre la mayoría de las veces), asociamos a la carga de prueba q toda la energía potencial del sistema.
• El potencial eléctrico (magnitud escalar) y el campo eléctrico (magnitud vectorial) son propiedades de cada punto, existiendo independientemente de que en él esté colocada una carga o no.
• El vector campo eléctrico E y el potencial eléctrico V son dos maneras de describir el campo eléctrico existente en una región del espacio. Algunas veces es más conveniente Usar el vector E y, en otras, el potencial V.

⚡ Potencial Eléctrico en un punto de una Carga

Considere el campo eléctrico generado por una partícula electrizada con carga Q. Vamos a colocar una carga de prueba q en un punto P de ese campo, a una distancia d de Q.

La energía potencial eléctrica almacenada en el sistema constituido por las dos cargas es dada por:

En dónde K es la constante electrostática del medio.

La demostración de esa expresión requiere conocimiento de cálculo diferencial e integral. Sin embargo, podemos utilizar una forma simplificada para esta demostración. Si se piensa que la carga Q se encuentra fija, la carga de prueba q, al desplazarse hasta el punto P, estará sujeta a una fuerza eléctrica de intensidad variable F, desplazándose una distancia r. Considerando el valor medio de la intensidad de la fuerza (F) como constante (Fm), el trabajo realizado por ella es responsable de la energía potencial adquirida por el sistema.

Es decir:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}=W={{F}_{m}}\cdot d\cdot \cos \theta $

Como la carga q se moverá en dirección del mismo sentido de la fuerza eléctrica, entonces tenemos que no hay ángulo, por lo tanto θ = 0° , y nuestra fórmula quedaría así:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}={{F}_{m}}\cdot d\cdot (1)={{F}_{m}}\cdot d$

La fuerza no es mas que la Ley de Coulomb, entonces sustituyendo en la fuerza, obtenemos:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}={{F}_{m}}\cdot d=K\frac{Qq}{{{r}^{2}}}\cdot d=K\frac{Qq}{r}$

Si sabemos que la energía potencial, la podemos escribir como:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}=qV$

Igualando con la fórmula anterior de energía potencial eléctrica

$latex \displaystyle qV=K\frac{Qq}{r}$

$latex \displaystyle V=K\frac{Qq}{qr}=K\frac{Q}{r}$

$latex \displaystyle V=K\frac{Q}{r}$

Es decir:

El gráfico representativo del potencial en función de la distancia a la carga puntiforme generadora del campo eléctrico es una curva denominada hipérbola equilátera.

Observando los gráficos, se percibe que el potencial tiende a cero, cuando la distancia tiende al infinito. Esto ocurre tanto para la carga positiva y para la negativa. por lo tanto:

Debemos entender por "infinito" un lugar suficientemente alejado de la carga Q, de modo que sus influencias en otras cargas sean despreciables.

? Potencial Eléctrico Creado por Varias Cargas Puntuales

Suponga un lugar del espacio donde se encuentran n partículas electrizadas. Consideremos, ahora, un punto A, sujeto a los n campos eléctricos creados por las cargas. Una vez que el potencial eléctrico es una magnitud escalar, tendremos, en el punto A, un potencial resultante de valor igual a la suma algebraica de los n potencial creados individualmente por las cargas.

Así, sería la expresión:

? Superficies Equipotenciales

Las Superficies Equipotenciales son líneas (en el plano) o superficies (en el espacio) en las que el potencial, en todos los puntos, asume el mismo valor algebraico.

Las equipotenciales, en un campo eléctrico creado por una partícula electrizada y solitaria, son circunferencias (en el plano) o superficies esféricas (en el espacio). Tal afirmación es fácilmente constatable, bastando para ello analizar la expresión del potencial. Obsérvese que, para los mismos Q y K, el potencial asumirá valores iguales en los puntos del espacio equidistantes de la carga fuente:

$latex \displaystyle V=K\frac{Q}{r}$

Teniendo K y Q valores fijos, para distancias r iguales tenemos el mismo potencial V.

En la ilustración, vemos la representación de equipotenciales en un campo eléctrico creado por una carga puntual positiva. Observe que, si la carga fuera negativa, cambiaría sólo el sentido de las líneas de fuerza, que pasarían a ser de aproximación. Con respecto a las equipotenciales, nada se alteraría. En el espacio, en lugar de circunferencias concéntricas, tendríamos superficies esféricas concéntricas.

En un dipolo eléctrico, es decir, en el caso de dos partículas electrizadas con cargas del mismo módulo, pero de señales opuestas, las equipotenciales asumen el aspecto de la figura a seguir.

Las equipotenciales (líneas o superficies) son perpendiculares a las líneas de fuerza.

Como ya vimos, el vector campo eléctrico E es siempre tangente a la línea de fuerza, con sentido coincidente con la orientación de la línea. Así, cuando tenemos una superficie equipotencial, tanto la línea de fuerza como el vector campo eléctrico son perpendiculares a ella, en todos sus puntos, como ilustra la figura abajo.

En un campo eléctrico uniforme, las equipotenciales son rectas (en el plano) o superficies planas (en el espacio), también perpendiculares a las líneas de fuerza, como representa la figura

⭕ Diferencia de Potencial Eléctrico

Por lo general no es tan importante o relevante conocer el potencial eléctrico que existe en un determinado punto, sino más bien saber cual es la diferencia de potencial entre dos puntos y con ello calcular la cantidad de trabajo necesario para mover cargas eléctricas de un punto a otro.

Se tiene por fórmula matemática lo siguiente:

Dónde:

Vab = Diferencia de potencial entre los puntos A y B (expresada en Volts)

Wab = Trabajo realizado sobre una carga de prueba q que se desplaza de A a B (expresada en Joules)

q = Carga de prueba desplazada de A a B (expresada en Coulombs)

A menudo la diferencia de potencial se le llama por otros nombres, como por ejemplo: voltaje o tensión. Al igual que el potencial eléctrico, la diferencia de potencial es una magnitud escalar.

La diferencia de potencial se puede obtener muy fácil si se conoce el potencial de cada uno, de esta forma:

Si se quisiera saber cuál es el trabajo realizado por el campo eléctrico al mover una carga q desde un punto A al punto B, de la primera ecuación de diferencia de potencial eléctrico despejamos a Wab y nos queda:

? Ejercicios Resueltos de Potencial Eléctrico

Solución:

Este es un problema básico y muy sencillo sobre el potencial eléctrico, pues entre los datos nos proporciona el trabajo a realizarse, así como la diferencia de potencial entre los dos puntos, por lo tanto solamente tenemos que aplicar la fórmula de potencial eléctrico y despejar a la variable de la carga "q".

Datos:

$latex \displaystyle W=5x{{10}^{-3}}J$

$latex \displaystyle V=2x{{10}^{2}}V$

a) Obteniendo el valor de la carga

De la fórmula de potencial eléctrico

$latex \displaystyle V=\frac{W}{q}$

Despejando a "q" de la fórmula.

$latex \displaystyle q=\frac{W}{V}$

Sustituyendo los valores en la fórmula despejada:

$latex \displaystyle q=\frac{W}{V}=\frac{5x{{10}^{-3}}J}{2x{{10}^{2}}V}=2.5x{{10}^{-5}}C$

Obtenemos un valor de 2.5x10^(-5) Coulombs

Solución:

En este problema no nos proporciona ningún dato del trabajo de mover la carga, pero si nos dan una energía potencial que en términos generales es también unidad de trabajo, adicionalmente nos dan el valor de la carga. Así que para obtener el valor del potencial eléctrico, tendremos que hacerlo de la siguiente manera.

Datos:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}=5x{{10}^{-5}}J$

$latex \displaystyle q=7\mu C=7x{{10}^{-6}}C$

a) Obteniendo el valor del potencial eléctrico

Para este caso, utilizaremos la siguiente fórmula:

$latex \displaystyle V=\frac{{{E}_{p}}}{q}$

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:

$latex \displaystyle V=\frac{{{E}_{p}}}{q}=\frac{5x{{10}^{-5}}J}{7x{{10}^{-6}}C}=7.14V$

Obteniendo así un valor de 7.14 Volts como diferencia de potencial.

Solución:

Cuando haya problemas de potencial eléctrico donde nos proporcionen distancias, es porque estamos hablando de la fórmula de potencial eléctrico en un punto, por lo que la fórmula será distinta a la de los ejercicios anteriores, por lo que partiendo de esto, podemos reunir los datos y comenzar a resolver.

Datos:

$latex \displaystyle q=8nC=8x{{10}^{-9}}C$

$latex \displaystyle r=17cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.17m$

$latex \displaystyle K=9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}$

a) Obteniendo el potencial eléctrico

Para este tipo de casos, aplicaremos la siguiente fórmula:

$latex \displaystyle V=\frac{Kq}{r}$

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula, obtenemos:

$latex \displaystyle V=\frac{Kq}{r}=\frac{\left( 9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}} \right)\left( 8x{{10}^{-9}}C \right)}{0.17m}=423.52V$

Obtenemos un potencial eléctrico de 423.52 Volts

Solución:

Este problema es mucho más complejo que los tres anteriores, por lo tanto requiere más análisis y observación. Si volvemos a leer el problema y observamos la imagen vamos a entender que los cálculos serán a través de la fórmula que aplicamos en el problema 3.

Datos:

$latex \displaystyle Q=5\mu C=5x{{10}^{-6}}C$

$latex \displaystyle {{r}_{A}}=35cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.35m$

$latex \displaystyle {{r}_{B}}=50cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.5m$

$latex \displaystyle K=9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}$

$latex \displaystyle q=11nC=11x{{10}^{-9}}C$

a) Obtener la diferencia potencial de Vab 

Debemos entender para poder calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y el punto B, primero debemos calcularlos individualmente, así que comencemos con el punto A

$latex \displaystyle {{V}_{A}}=\frac{KQ}{{{r}_{A}}}$

➡ Sustituyendo los datos para el caso de A:

$latex \displaystyle {{V}_{A}}=\frac{KQ}{{{r}_{A}}}=\frac{\left( 9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}} \right)\left( 5x{{10}^{-6}}C \right)}{0.35m}=128.57x{{10}^{3}}V$

Obteniendo así un valor de 128.57x10^3 Volts

➡ Sustituyendo los datos para el caso de B:

$latex \displaystyle {{V}_{B}}=\frac{KQ}{{{r}_{B}}}=\frac{\left( 9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}} \right)\left( 5x{{10}^{-6}}C \right)}{0.5m}=90x{{10}^{3}}V$

Obteniendo así un valor de 90x10^3 Volts

Por lo tanto la diferencia de potencial de Vab, sería:

$latex \displaystyle {{V}_{AB}}={{V}_{A}}-{{V}_{B}}$

$latex \displaystyle {{V}_{AB}}=128.57x{{10}^{3}}V-90x{{10}^{3}}V=38.57x{{10}^{3}}V$

Un valor de 38.57x10^3 Volts

b) Obtener el trabajo realizado por el campo eléctrico

Para poder obtener el valor del trabajo del campo eléctrico de la carga Q para mover del punto A al punto B a la carga de prueba, es importante aplicar la siguiente fórmula:

$latex \displaystyle {{W}_{A\to B}}=q\left( {{V}_{A}}-{{V}_{B}} \right)$

Recordar que el valor de Q y q no son los mismos, el valor de q es el valor de la carga de prueba.

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:

$latex \displaystyle {{W}_{A\to B}}=q\left( {{V}_{A}}-{{V}_{B}} \right)=11x{{10}^{-9}}C\left( 38.57x{{10}^{3}}C \right)=4.24x{{10}^{-4}}J$

Por lo que el valor del trabajo del campo eléctrico fue de 4.24x10^(-4) Joules

Solución:

Este problema es muy diferente a los cuatro anteriores, sin embargo tiene un parecido al problema 2. El problema nos proporciona dos cargas y una distancia entre ambas. Y nos pide la energía potencial que existe entre las cargas. Vamos a recoger los datos y a resolver.

Datos:

$latex \displaystyle Q=7\mu C=7x{{10}^{-6}}C$

$latex \displaystyle q=4\mu C=4x{{10}^{-6}}C$

$latex \displaystyle r=45cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.45m$

$latex \displaystyle K=9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}$

a) Obtener la energía potencial del sistema

Para obtener la energía potencial del sistema, aplicamos la siguiente fórmula:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}=\frac{kQq}{r}$

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:

$latex \displaystyle {{E}_{p}}=\frac{kQq}{d}=\frac{\left( 9x{{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}} \right)\left( 7x{{10}^{-6}}C \right)\left( 4x{{10}^{-6}}C \right)}{0.45m}=0.56J$

Por lo que la energía potencial del sistema es de 0.56 Joules.