Teoría Especial de la Relatividad

¿Alguna vez te has preguntado qué pasaría si pudieras viajar más rápido que la luz? Esta pregunta, que durante siglos parecía solo un ejercicio mental, encontró una respuesta sorprendente en la Teoría Especial de la Relatividad, propuesta por Albert Einstein a principios del siglo XX. Esta teoría revolucionaria desafió nuestras intuiciones más profundas sobre el espacio, el tiempo y la materia, y sentó las bases para comprender fenómenos tan diversos como la energía nuclear y la expansión del universo. En este post, exploraremos los postulados fundamentales de la Relatividad Especial, sus implicaciones más importantes y su impacto en la física moderna.

La teoría espeical de la relatividad se fundamenta en dos postulados:

1. La velocidad de la luz en el vacío siempre tiene la misma magnitud en cualquier sistema de referencia en el que no exista aceleración, es decir, en sistemas inerciales.
2. Todas las leyes físicas son invariantes para todos los sistemas que se mueven de manera uniforme.

Consideraciones de la Teoría Especial de la Relatividad

a) La magnitud de velocidad de la luz en el vacío (300 mil km/s), es una velocidad límite en el Universo que no puede ser rebasada por ningún tipo de partícula o radiación. Esta afirmación hace inexacto el principio de la mecánica clásica sobre la adición de las magnitudes de las velocidades. De acuerdo con este principio, si una nave espacial que vuela a una magnitud de velocidad de 600 m/s dispara hacia adelante un proyectil con una magnitud de velocidad de 1200 m/s, la magnitud de velocidad resultante del proyectil para un observador situado en un punto del suelo sería de 1800 m/s. Al calcular esta magnitud de velocidad con la fórmula relativista tendremos:

$\displaystyle v=\frac{{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}}{{1+\frac{{{{v}_{1}}\times {{v}_{2}}}}{{{{c}^{2}}}}}}$

Sustituyendo magnitudes:

$\displaystyle v=\frac{{600+1200}}{{1+\frac{{600\times 1200}}{{{{{\left( {300000000} \right)}}^{2}}}}}}=1799.98\frac{m}{s}$

El resultado señala una diferencia mínima entre la magnitud de velocidad determinada en la forma clásica y en la relativista. pues las magnitudes de las velocidades son pequeñas comparadas con la de la luz. Sin embargo, si suponemos que la magnitud de la velocidad de la nave es de 100 mil km/s y la del proyectil de 200 mil km/s, el observador situado en un puntodel suelo registrará una magnitud de velocidad de 300 mil km/s, pero al sutituir los valores en la fórmula relativista de la magnitud de velocidad tendremos:

$\displaystyle v=\frac{{1x{{{10}}^{5}}+2x{{{10}}^{5}}}}{{1+\frac{{1x{{{10}}^{5}}\times 2x{{{10}}^{5}}}}{{{{{\left( {3x{{{10}}^{5}}} \right)}}^{2}}}}}}=2.45x{{10}^{5}}\frac{{km}}{s}$

Como se observa, hay una diferencia notable entre las dos magnitudes, ya que la suma clásica de las magnitudes de las velocidades nos da un resultado erróneo igual a 300 mil km/s cuando la magnitud de la velocidad real del proyecti es de 245 mil km/s

Relación Masa-Energía

b) Cuando un cuerpo se mueve su masa no permanece constante, sino que aumenta según se incremente la magnitud de su velocidad y toda vez que el movimiento es una forma de energía, la masa incrementada del cuerpo móvil debe provenir de su energía incrementada. Por tanto, la materia puede convertirse en energía y viceversa. La fórmula relativista que relaciona a la masa con la energía es:

$\displaystyle E=m{{c}^{2}}$

Dónde:

E = Energía contenida en un cuerpo en Joules (J)

m = masa del cuerpo en kilogramos (kg)

c = magnitud de la velocidad de la luz en el vacío (300 mil km/s)

Esto significa que la energía liberada al desintegrarse completamente un kilogramo de uranio será:

$\displaystyle E=m{{c}^{2}}$

$\displaystyle E=\left( {1kg} \right){{\left( {3x{{{10}}^{8}}\frac{m}{s}} \right)}^{2}}=9x{{10}^{{16}}}J$

Es decir, 90 mil billones de Joules, que transformados a kW-h serán:

$\displaystyle E=9x{{10}^{{16}}}J\times \frac{{1kWh}}{{3.6x{{{10}}^{6}}J}}=2.5x{{10}^{{10}}}kWh$

es decir, 25 mil millones de kW-h

Mediante el empleo de aceleradores de partículas se ha podido comprobar que al aumentar la magnitud de la velocidad de éstas también se incrementa su masa. La ecuación relativista que relaciona el incremento de la masa en función del aumento de la magnitud de la velocidad es:

$\displaystyle m=\frac{{{{m}_{0}}}}{{\sqrt{{1-\left( {\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}} \right)}}}}$

donde:

m = masa del cuerpo a la velocidad v en kilogramos (kg)

m0 = masa del cuerpo en reposo en kilogramos (kg)

c = magnitud de la velocidad de propagación de la luz en el vacío en m/s

v = magnitud de la velocidad del cuerpo con masa m en m/s

De acuerdo con la ecuación anterior, si un cuerpo se moviera con una magnitud de velocidad igual a la de la luz, tendríamos:

$\displaystyle \frac{{{{v}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}=1\therefore m=\frac{{{{m}_{0}}}}{O}=\infty $

Esto significa que la masa del cuerpo sería infinita.

c) El tiempo también es relativo, es decir, no es algo intrínseco que exista y transcurra en todo el Universo a la vez, por tanto, no puede servir de referencia para afirmar que dos fenómenos ocurridos en diferentes sistemas son simultáneos. Por ejemplo: cuando por medio de un telescopio observamos en un determinado momento a la estrella Sirio (una de las más cercanas a la Tierra, pues se encuentra a unos 8.6 años luz de nosotros), lo que en realidad vemos es una imagen de la estrella Sirio formada por los rayos de luz que se alejaron de ella hace 8.6 años. Por lo cual, si en este momento desapareciera dicha estrella tardaríamos 8.6 años en percatarnos de ello. De acuerdo con lo anterior, existen tantos tiempos como sistemas considerados. Por eso la duración de un fenómeno apreciada y medida por varios observadores en movimiento es una cantidad propia de cada uno de ellos que dependerá de la magnitud de su velocidad y de su posición. Vale la pena recordar que en el caso de magnitudes de velocidades comunes, incluso las de los vehículos más rápidos, puede considerarse que el tiempo transcurre igualmente para todos. No sucederá lo mismo si las magnitudes de velocidades de los móviles son próximas a las de la luz.

Paradoja de los Gemelos

La paradoja de los gemelos es un experimento mental que ilustra las consecuencias de la dilatación del tiempo predicha por la teoría de la relatividad especial de Einstein. Imagina dos gemelos idénticos. Uno de ellos, al que llamaremos el gemelo viajero, emprende un viaje espacial a una velocidad cercana a la de la luz, mientras que el otro, el gemelo terrestre, permanece en la Tierra.

Desde el punto de vista del gemelo terrestre, el tiempo del gemelo viajero transcurre más lentamente debido a su alta velocidad. Por lo tanto, cuando el gemelo viajero regresa a la Tierra, debería ser más joven que su hermano gemelo que se quedó en casa.

Aquí surge la aparente paradoja: desde el punto de vista del gemelo viajero, es la Tierra la que se aleja a gran velocidad y luego regresa, por lo que, aplicando el mismo razonamiento, él debería ver que el tiempo en la Tierra transcurre más lentamente y, por lo tanto, él debería esperar encontrar a su hermano terrestre más joven.

La resolución de esta paradoja radica en que la situación no es simétrica para ambos gemelos. El gemelo viajero debe acelerar para salir de la Tierra, desacelerar para dar la vuelta y volver a acelerar para regresar. Estas aceleraciones rompen la simetría entre los dos gemelos. El gemelo terrestre permanece en un sistema de referencia inercial (es decir, sin aceleración), mientras que el gemelo viajero experimenta aceleraciones y desaceleraciones, lo que lo sitúa en un sistema de referencia no inercial.

Debido a esta diferencia, el cálculo correcto, según la teoría de la relatividad general (que considera la gravedad y la aceleración), confirma que es el gemelo viajero el que envejece menos. El tiempo, como ya se ha mencionado en tu investigación, es relativo y depende del sistema de referencia del observador, especialmente cuando se involucran altas velocidades y aceleraciones. Al igual que con el ejemplo de la estrella Sirio, donde la luz tarda un tiempo en llegar a nosotros, el tiempo también se ve afectado por la velocidad del observador, y esta diferencia se hace significativa a velocidades cercanas a la de la luz, tal como se plantea en tu texto.

En resumen, la paradoja de los gemelos no es una contradicción real, sino una consecuencia de la naturaleza relativa del tiempo y la asimetría entre las experiencias de los dos gemelos. La aceleración que experimenta el gemelo viajero es la clave para resolver la aparente contradicción.

d) La contracción de los cuerpos en movimiento es una consecuencia de la relatividad del tiempo. Por tanto, si un objeto adquiere una velocidad con una magnitud cercana a la de la luz, sería visto por un observador inmóvil con una longitud menor en la dirección de su movimiento, longitud que disminuiría según se incremente la magnitud de su velocidad. La contracción que sufren los cuerpos recibe el nombre de contracción de Lorentz y fue él mismo quien propuso la siguiente ecuación para calcular la longitud que tendrá un cuerpo en la dirección de su movimiento:

$\displaystyle L={{L}_{0}}\sqrt{{1-\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}}}$

dónde:

L = Longitud del objeto en la dirección de su movimiento en metros (m)

L0 = Longitud del objeto en reposo en metros (m)

v = magnitud de la velocidad que adquiere el objeto en m/s

Si la magnitud de la velocidad del objeto fuera igual a la magnitud de la velocidad de la luz, tendríamos:

$\displaystyle \frac{{{{v}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}=1\therefore L=0$

En otras palabras, si un objeto alcanzara la misma magnitud de la velocidad de la luz. su contracción sería tal que su longitud resultaría nula. Esto nos confirma una vez más que la magnitud de velocidad máxima que puede existir en el Universo es la de la luz.

Ejercicios Resueltos de Materia y Energía

Veamos algunos problemas resueltos aplicando la ecuación de Einstein

Recuerda que la velocidad de la luz c = 3 x 10^8 m/s

Solución:

a) Energía liberada por un núcleo, primero vamos a obtener el 0.1% de la masa transformada en energía:

$\displaystyle m=\left( {3.92\times {{{10}}^{{-25}}}} \right)\times 0.001=3.92\times {{10}^{{-28}}}kg$

Aplicando la ecuación de Einstein:

$\displaystyle E=m{{c}^{2}}$

Sustituyendo la masa, y la velocidad de la luz, obtenemos:

$\displaystyle E=(3.92\times {{10}^{{-28}}})\times {{(3\times {{10}^{8}})}^{2}}$

$\displaystyle E=3.528\times {{10}^{{-11}}}J$

b) Energía liberada por 1 kg:

Para 1kg de uranio-235:

$\displaystyle N\acute{u}mero\,de\,n\acute{u}cleos=\frac{1}{{3.92\times {{{10}}^{{-25}}}}}=2.55\times {{10}^{{24}}}$

Entonces:

$\displaystyle {{E}_{{total}}}=(2.55\times {{10}^{{24}}})\times (3.528\times {{10}^{{-11}}})=9\times {{10}^{{13}}}J$

Recuerda que 1 W = 1 J/s

Solución:

a) Para calcular la energía liberada, aplicaremos:

$\displaystyle E=m{{c}^{2}}$

$\displaystyle E=0.002\times {{\left( {3\times {{{10}}^{8}}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle E=0.002\times 9\times {{10}^{{16}}}=1.8\times {{10}^{{14}}}J$

b) Tiempo de funcionamiento del dispositivo:

Ahora que ya sabemos la energía, entonces si un dispositivo consume 1 MW = 1 x 10^6 W = 1 x 10^6 J/s

$\displaystyle Tiempo=\frac{{Energ\acute{i}a}}{{Potencia}}=\frac{{1.8\times {{{10}}^{{14}}}}}{{1\times {{{10}}^{6}}}}=1.8\times {{10}^{8}}s$

Convertimos a años:

$\displaystyle t=\frac{{1.8\times {{{10}}^{8}}}}{{60\times 60\times 24\times 365}}\approx 5.7a\tilde{n}os$

Conclusión

En este recorrido por la Teoría Especial de la Relatividad, hemos visto cómo Einstein desafió nuestras concepciones más arraigadas sobre el espacio y el tiempo. Desde la constancia de la velocidad de la luz hasta la equivalencia entre masa y energía, pasando por la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, cada postulado y cada consecuencia nos revelan un universo mucho más dinámico y sorprendente de lo que imaginábamos. La Relatividad Especial no solo transformó la física, sino que también nos obligó a repensar nuestra propia posición en el cosmos, demostrando que la realidad no es absoluta, sino que depende del punto de vista del observador. Su legado perdura hasta nuestros días, siendo fundamental para comprender desde el funcionamiento de los GPS hasta la evolución del universo a gran escala.