Tubo de Venturi - Ejercicios Resueltos

¿Qué tal lectores? después de haber aprendido las bases del principio de Bernoulli , es momento de conocer varios instrumentos, aplicaciones físicas, y temas derivados de dicho aporte en la hidrodinámica de la Física, y hoy hablaremos sobre el tubo de Venturi o también conocido como medidor de Venturi, pues bien el tubo de Venturi es un instrumento que se usa para medir la rapidez que posee un flujo de un fluido incompresible en alguna tubería. Normalmente a la parte más angosta del tubo se le conoce como garganta.

Éste efecto Venturi posee muchas aplicaciones que son destinadas tanto para líquidos como para gases. Por citar un ejemplo; en el carburador de un automóvil se utiliza dicho principio en el que se mezcla tanto vapor de gasolina y aire. ¿cómo se aplica?; pues bien, cuando el aire pasa a través de un espacio muy angosto hacía los cilindros, éste origina un área de presión baja a razón de que la velocidad aumenta. Con esto la presión disminuye y evita que el combustible llegue a la columna de aire, donde finalmente se vaporiza rápidamente. Recordemos que en principio debemos entender que la presión disminuye conforme la velocidad aumenta. 😎

Bien, ¿todo correcto hasta aquí? , esperemos que si. Ahora es momento de ver el Tubo de Venturi.

Si analizamos la imagen vamos a poder observar varios conceptos, entre ellos las variables de presión, velocidad y área. Nos damos cuenta que mientras hay un estrechamiento del área en el punto dos, la presión disminuye y la velocidad aumenta. Pero también analizamos que el tubo posee una posición horizontal, esto hace que la altura de alguna u otra forma sea despreciable para nuestros próximos cálculos.

Fórmula del Tubo de Venturi

Bien, vamos a encontrar la ecuación para el Tubo de Venturi, a partir de los conocimientos básicos de la Principio de Bernoulli  para ello vamos a escribir la ecuación de Bernoulli.

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Como dijimos anteriormente, en el tubo horizontal de Venturi las alturas son exactamente las mismas, por lo cual en nuestra nueva ecuación, la vamos a ignorar. Por lo que la gravedad por la altura en ambos lados las quitamos, quedando así.

$\displaystyle {{\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Agrupando los términos:

$\displaystyle \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}$

Para no seguir escribiendo al 2 en el denominador del segundo miembro, vamos a multiplicar ambos miembros por dos.

$\displaystyle 2\left( \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}} \right)=2\left( \frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2} \right)$

Recordemos que la densidad será de un líquido, y no intervendrán más de uno, entonces podemos decir que:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$ --> Ecuación (1)

Bien, por aquí todo sin problemas. Ahora es momento de utilizar nuestra ecuación del Gasto, ¿no sabes qué es el gasto? en nuestro blog ya hablamos del gasto, y también haremos uso de la ecuación de continuidad. Así que tomando datos de ambos conceptos.

El gasto en la parte más ancha del tubo debe ser igual al más estrecho:

$\displaystyle {{G}_{1}}={{G}_{2}}$

O sea que:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Vamos a despejar a V2, suponiendo que lo que queremos calcular es la velocidad inicial del fluido.

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Vamos a sustituir ello en la Ecuación 1, quedando así:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{\left( \frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}-{{v}_{1}}^{2}$

Factorizando a v1

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{1}}^{2}\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)$

Despejando a v1

$\displaystyle {{v}_{1}}^{2}=\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}$

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Muchos libros, consideran hasta este punto la fórmula para el tubo de Venturi , sin embargo vamos a reducir más la fórmula.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Vamos a resolver la resta de fracciones que tenemos en el denominador con las áreas, de ahí sacaremos al denominador común.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\frac{\rho }{{{A}_{2}}^{2}}\left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Aplicando la ley de la torta, vamos a tener lo siguiente.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2{{A}_{2}}^{2}\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Por la propiedad de los radicales, sino sabes como resolver radicales aquí lo explicamos.

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Qué vendría a ser nuestra fórmula 😀

Ahora es momento de practicar.

Ejercicios Resueltos del Tubo de Venturi

Solución: Analicemos primeramente nuestros datos:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{d}_{1}}=0.1524m\\{{d}_{2}}=0.0762m\\{{p}_{1}}=4.2x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{p}_{2}}=3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\end{array}$

Esta es la fórmula que usaremos:

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Para no confundirnos, es mejor resolver primero lo que tenemos en el numerador dentro de la raíz, y después lo del denominador, es decir:

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 4.2x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=24000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Después el denominador, no sin antes calcular las áreas por separado.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1524m)}^{2}}}{4}=0.01824{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0762m)}^{2}}}{4}=0.00456{{m}^{2}}$

Ahora si calculamos el denominador:

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.01824{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.00456{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.3119kgm$

Entonces sustituyendo nuestros datos:

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}=0.00456{{m}^{2}}\sqrt{\frac{24000\frac{N}{{{m}^{2}}}}{0.3119kgm}}=1.265\frac{m}{s}$

Qué sería nuestra velocidad inicial.

a) Calcule la velocidad inicial del agua que fluye a través de la tubería.

b) ¿Cuál es el gasto?

c) ¿Cuál es el flujo?

Solución: 

Nuevamente tenemos un problema con las características iniciales del problema 1, por lo que lo más recomendable es recopilar nuestros datos, así que colocamos:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{d}_{1}}=10.16cm\\{{d}_{2}}=5.08cm\\{{p}_{1}}=3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{p}_{2}}=1.9x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\end{array}$

Posteriormente, vamos a convertir los diametros a área, lógicamente tenemos que usar la unidad de longitud en metros, y no en centímetros, esto es muy importante.

$\displaystyle {{d}_{1}}=10.16cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.1016m$

$\displaystyle {{d}_{2}}=5.08cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.0508m$

Ahora calculemos las áreas.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1016m)}^{2}}}{4}=0.0081{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0508m)}^{2}}}{4}=0.0020{{m}^{2}}$

Ahora nuevamente como el ejercicio anterior, calculemos por separado lo del numerador y denominador que están dentro de la raíz cuadrada.

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-1.9x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=22000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Ahora el denominador

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.0081{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.0020{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.06161kgm$

Es momento de calcular nuestra velocidad inicial.

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}=0.0020{{m}^{2}}\sqrt{\frac{22000\frac{N}{{{m}^{2}}}}{0.06161kgm}}=1.195\approx 1.2\frac{m}{s}$

Qué sería nuestra velocidad inicial, que es lo que nos pide el problema.

Con esto podemos afirmar que el Tubo de Venturi, es una gran aplicación más del Principio de Bernoulli, espero que hayas entendido los ejercicios aquí propuestos, si tienes dudas, favor de dejarlas en la caja de comentarios aquí abajo.