Derivadas Implícitas - Ejercicios Resueltos

Las derivadas implícitas o derivación implícita son derivadas de aquellas funciones donde la variable dependiente no está despejada, por lo general en cálculo diferencial se utiliza a la variable "y", por otro lado en las derivadas algebraicas, trigonométricas, inversas, logarítmicas, exponenciales y de orden superior hemos estado usando funciones implícitas donde la variable dependiente se encuentra despejada.

Para no confundirnos y entenderlo mejor, veamos algunos ejemplos de función implícita y explícita.

Ejemplos de Funciones Implícitas y Explícitas

Como dijimos al comienzo, las funciones explícitas son aquellas donde la variable dependiente se encuentra despejada, tal como en los siguientes ejemplos.

$\displaystyle y=3{{x}^{2}}+3x+10$

$\displaystyle y={{x}^{2}}\ln (2x+1)$

$\displaystyle y={{e}^{6x}}arcsen(2x)$

$\displaystyle y=\frac{\cos (2x)}{\sqrt{\tan (3x)}}$

Si por el contrario, tenemos funciones implícitas entonces veremos a la variable dependiente "no despejada", es decir;

$\displaystyle {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=xy+8$

$\displaystyle \tan (x-4y)=3x+{{y}^{2}}$

$\displaystyle 5{{x}^{2}}+2xy-9x+{{y}^{2}}+22y-4=0$

$\displaystyle y=arcsen\sqrt{{{x}^{4}}-{{y}^{2}}}$

Es muy fácil diferenciar entre las funciones explícitas e implícitas, si nos encontramos a las funciones implícitas de esa manera puede deberse por dos razones.

• Porque la variable dependiente sea algebraicamente imposible de despejar, por ejemplo cuando aparece parte del argumento y además está en alguna otra función. Por ejemplo:

$\displaystyle 4y=sen(2x-{{y}^{2}})$

• La otra razón es porque el autor así decidió escribirlo, a veces para que el alumno mejore su habilidad de despejar variables.

Proceso para derivar implícitamente de la mejor manera.

En la derivación implícita se emplean las mismas fórmulas de derivadas, no cambia en absoluto. Son exactamente las mismas reglas, lo único que debe considerarse es el tratar de considerar a la variable dependiente como si se tratara de una función por aparte, ver la siguiente imagen.

Paso 1: Para comenzar con nuestras derivadas implícitas, se deben derivar ambos miembros de la igualdad.

Paso 2: Se debe despejar a dy/dx

Con estos dos sencillos pasos, tenemos el proceso listo para derivar. Veamos ahora algunos ejemplos.

Derivadas Implícitas Ejercicios Resueltos

Solución: 

Observamos que se trata de una función implícita, siguiendo las reglas debemos derivar ambos miembros de la igualdad, por lo que obtendremos:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( 5x{{y}^{7}}-{{y}^{3}} \right)=\frac{d}{dx}\left( 9x+4y \right)$

Derivando cada término, tenemos.

$\displaystyle \frac{d}{dx}5x{{y}^{7}}-\frac{d}{dx}{{y}^{3}}=\frac{d}{dx}9x+\frac{d}{dx}4y$

Hasta este punto es normal, sin embargo nos encontramos con diferentes casos de derivación, veamos:

Si derivamos ahora, obtendremos lo siguiente. Tener en cuenta que la "uv" es un producto de dos funciones.

$ \displaystyle 5x\frac{d}{dx}{{y}^{7}}+{{y}^{7}}\frac{d}{dx}5x-3{{y}^{3-1}}\frac{d}{dx}y=9+4\frac{dy}{dx}$

Derivando, pero teniendo en cuenta que "y" es una función.

$\displaystyle 5x\left[ 7{{y}^{6}}\frac{dy}{dx} \right]+5{{y}^{7}}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}=9+4\frac{dy}{dx}$

Multiplicando, obtenemos:

$\displaystyle 35x{{y}^{6}}\frac{dy}{dx}+5{{y}^{7}}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}=9+4\frac{dy}{dx}$

Juntamos en el miembro izquierdo a todas las derivadas y del miembro derecho a las que no tengan ninguna derivada.

$\displaystyle 35x{{y}^{6}}\frac{dy}{dx}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}-4\frac{dy}{dx}=9-5{{y}^{7}}$

Factorizando dy/dx de lado izquierdo, tenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}(35x{{y}^{6}}-3{{y}^{2}}-4)=9-5{{y}^{7}}$

Ahora, solamente despejamos a dy/dx para obtener nuestro resultado.

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{9-5{{y}^{7}}}{35x{{y}^{6}}-3{{y}^{2}}-4}$

Solución: 

En ocasiones este tipo de ejemplos puede confundirse, porque la función es implícita, aunque del lado izquierdo aparezca despejada "y", existe "y" de lado derecho esto hace que sea completamente implícita, ahora derivamos ambos miembros.

$\displaystyle \frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\left( x\ln y \right)+\frac{d}{dx}sen3x$

Observamos que en x lny lo resolveremos como el producto de dos funciones, para que tengamos algo similar a esto.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\left[ x\frac{d}{dx}\ln y+\ln y\frac{d}{dx}x \right]+3\cos 3x$

Derivamos el producto y obtenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=x\left[ \frac{\frac{d}{dx}y}{y} \right]+\ln y(1)+3\cos 3x$

De otra forma, esto es:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\left[ \frac{dy}{dx} \right]+\ln y+3\cos 3x$

Escribimos de lado izquierdo los términos que contengan a la derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\left[ \frac{dy}{dx} \right]=\ln y+3\cos 3x$

Factorizando a la derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dx}\left( 1-\frac{x}{y} \right)=\ln y+3\cos 3x$

Finalmente despejamos a la derivada, para que nos de el resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{1-\frac{x}{y}}$

Aplicando un poco de álgebra para expresar bien nuestro cociente y obtener lo que deseamos.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{1-\frac{x}{y}}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{\frac{y-x}{y}}=\frac{y(\ln y+3\cos 3x)}{y-x}$

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\ln y+3y\cos 3x}{y-x}$

Solución:

Nuevamente derivamos ambos miembros, de tal forma que tengamos algo así:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=\frac{d}{dx}9$

Posteriormente, aplicamos:

$\displaystyle \frac{d}{dx}{{x}^{2}}+\frac{d}{dx}{{y}^{2}}=\frac{d}{dx}9$

En el segundo miembro es lógico que nos dará cero, pues la derivada de la constante es cero, y en el primer miembro obtendremos esto:

$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Como nada más existe una sola derivada dy/dx, la mantenemos en el miembro izquierdo, es decir despejamos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}$

Simplificando, obtenemos:

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Solución:

En este ejemplo vemos a un producto de dos funciones en el miembro izquierdo y una constante en el miembro derecho:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( 4\cos x\cos y \right)=\frac{d}{dx}3$

Para el miembro izquierdo podemos mandar al 4 detrás de la derivada, de esta forma:

$\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left( \cos x\cos y \right)=\frac{d}{dx}3$

Derivando en el miembro derecho tenemos:

$\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left( \cos x\cos y \right)=0$

Ahora nos queda el producto de dos funciones en el miembro izquierdo, así que derivamos.

$\displaystyle 4\left( \cos x\frac{d}{dx}\cos y+\cos y\frac{d}{dx}\cos x \right)=0$

Esto nos daría, lo siguiente:

$\displaystyle 4\left[ \cos x\left( -seny\frac{dy}{dx} \right)+\cos y(-senx) \right]=0$

Para así obtener:

$\displaystyle 4\left( -seny\cos x\frac{dy}{dx}-\cos ysenx \right)=0$

Multiplicando el 4, para poder así despejar a dy/dx, tenemos:

$\displaystyle -4seny\cos x\frac{dy}{dx}-4\cos ysenx=0$

Despejando. . .

$\displaystyle -4seny\cos x\frac{dy}{dx}=4\cos ysenx$

Ahora si despejamos a dy/dx

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4\cos ysenx}{-4seny\cos x}$

Simplificando tenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\cos ysenx}{seny\cos x}$

Podemos utilizar las identidades trigonométricas para dejar expresada a nuestra derivada implícita con mejor orden, de esta manera:

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\tan x\cot y$

Usando las Derivadas Implícitas encuentra la segunda derivada

Solución:

Comenzamos por encontrar la primer derivada de $\displaystyle 8{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8$

$\displaystyle 16x+2y\frac{{dy}}{{dx}}=0$

$\displaystyle 2y\frac{{dy}}{{dx}}=-16x$

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{-8x}}{y}$

Ahora, encontramos la segunda derivada.

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{y(-8)-(-8x)\frac{{dy}}{{dx}}}}{{{{y}^{2}}}}$

Sustituyendo el valor de $\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{-8x}}{y}$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{y(-8)-(-8x)\left( {\frac{{-8x}}{y}} \right)}}{{{{y}^{2}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-8{{y}^{2}}-64{{x}^{2}}}}{{{{y}^{3}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-8\left( {8{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}}{{{{y}^{3}}}}$

Ahora, usando $\displaystyle 8{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8$ obtenemos la respuesta:

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{-8\left( 8 \right)}}{{{{y}^{3}}}}=\frac{{-64}}{{{{y}^{3}}}}$

Qué vendría a ser nuestra respuesta.

Solución:

Primero comenzamos encontrando la primera derivada de $\displaystyle {{x}^{5}}+{{y}^{5}}=1$

$\displaystyle 5{{x}^{4}}+5{{y}^{4}}\frac{{dy}}{{dx}}=0$

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=-\frac{{{{x}^{4}}}}{{{{y}^{4}}}}$

Ahora, encontremos la segunda derivada:

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{{{y}^{4}}(-4{{x}^{3}})-(-{{x}^{4}})(4{{y}^{3}})\frac{{dy}}{{dx}}}}{{{{{({{y}^{4}})}}^{2}}}}$

Sustituyendo el valor de $\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=-\frac{{{{x}^{4}}}}{{{{y}^{4}}}}$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{-4{{x}^{3}}{{y}^{4}}+4{{x}^{4}}{{y}^{3}}\left( {-\frac{{{{x}^{4}}}}{{{{y}^{4}}}}} \right)}}{{{{y}^{8}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-4{{x}^{3}}{{y}^{4}}-\frac{{4{{x}^{8}}}}{y}}}{{{{y}^{8}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-4{{x}^{3}}{{y}^{5}}-4{{x}^{8}}}}{{{{y}^{9}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-4{{x}^{3}}\left( {{{y}^{5}}+{{x}^{5}}} \right)}}{{{{y}^{9}}}}$

Ahora, usando $\displaystyle {{x}^{5}}+{{y}^{5}}=1$ obtenemos:

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{dx}}=\frac{{-4{{x}^{3}}\left( 1 \right)}}{{{{y}^{9}}}}=\frac{{-4{{x}^{3}}}}{{{{y}^{9}}}}$

Qué sería nuestra respuesta.

Solución:

Primero comenzamos por encontrar la primer derivada de $\displaystyle {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=5$

$\displaystyle 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}\frac{{dy}}{{dx}}=0$

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{-{{x}^{2}}}}{{{{y}^{2}}}}$

Ahora, encontramos la segunda derivada:

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{{{y}^{2}}(-2x)-(-{{x}^{2}})(2y\frac{{dy}}{{dx}})}}{{{{{\left( {{{y}^{2}}} \right)}}^{2}}}}$

Sustituyendo el valor de: $\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{-{{x}^{2}}}}{{{{y}^{2}}}}$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{{{y}^{2}}(-2x)-(-{{x}^{2}})(2y\frac{{dy}}{{dx}})}}{{{{{\left( {{{y}^{2}}} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-2x{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}y\left( {\frac{{-{{x}^{2}}}}{{{{y}^{2}}}}} \right)}}{{{{y}^{4}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-2x{{y}^{2}}-\frac{{2{{x}^{4}}}}{y}}}{{{{y}^{4}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-2x{{y}^{3}}-2{{x}^{4}}}}{{{{y}^{5}}}}$

$\displaystyle =\frac{{-2x\left( {{{y}^{3}}+{{x}^{3}}} \right)}}{{{{y}^{5}}}}$

Ahora usando $\displaystyle {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=5$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{-2x(5)}}{{{{y}^{5}}}}=\frac{{-10x}}{{{{y}^{5}}}}$

Solución:

Encontrando la primera derivada de $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$

$\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}+\frac{1}{2}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}\frac{{dy}}{{dx}}=0$

$\displaystyle \frac{1}{2}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}\frac{{dy}}{{dx}}=-\frac{1}{2}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}$

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=-\frac{{{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}$

Ahora, encontramos la segunda derivada:

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}\left( {-\frac{1}{2}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}\frac{{dy}}{{dx}}} \right)-(-{{y}^{{\frac{1}{2}}}})(\frac{1}{2}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}})}}{{{{{\left( {{{x}^{{\frac{1}{2}}}}} \right)}}^{2}}}}$

Sustituyendo el valor de: $\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{-{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}}=\frac{{-\frac{1}{2}{{x}^{{\frac{1}{2}}}}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}\left( {\frac{{-{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}} \right)+\frac{{{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{2{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}}}{x}$

$\displaystyle =\frac{{\frac{1}{2}+\frac{{{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{2{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}}}{x}$

$\displaystyle =\frac{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}+{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{2{{x}^{{\frac{3}{2}}}}}}$

Ahora, usando $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$

$\displaystyle \frac{{{{d}^{2}}y}}{{dx}}=\frac{1}{{2{{x}^{{\frac{3}{2}}}}}}$

Qué sería la respuesta que estamos buscando.